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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 179 • Combinatória
Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão
A $\large \frac{6!}{4!2!} × \frac{15!}{10!5!}$
B $\large \frac{6!}{4!2!} + \frac{15!}{10!5!}$
C $\large \frac{6!}{2!} + \frac{15!}{5!}$
D $\large \frac{6!}{2!} × \frac{15!}{5!}$
E $\large \frac{21!}{7!14!}$
Resolução
Para determinar a quantidade total de fantasias distintas que podem ser produzidas, devemos calcular o número de combinações possíveis para a escolha dos tecidos e multiplicá-lo pelo número de combinações possíveis para a escolha das pedras ornamentais, aplicando o Princípio Fundamental da Contagem.
Como a ordem em que os materiais são selecionados não altera a composição da fantasia final, trata-se de um problema de combinação simples, cuja fórmula geral é dada por $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Para os tecidos, a pessoa deve escolher 2 tipos simultâneos dentre os 6 disponíveis. O número de maneiras distintas de realizar essa seleção é calculado por:$$C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{4!2!}$$Para as pedras ornamentais, a exigência é escolher 5 tipos dentre os 15 disponíveis. Analogamente, o número de combinações para essa etapa é dado por:$$C_{15,5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{10!5!}$$Como a montagem de cada fantasia requer a união obrigatória dessas duas escolhas independentes, multiplicamos os resultados parciais obtidos para chegar ao número total de possibilidades de criação:$$\boxed{\frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{15!}{10!5!}}$$A expressão algébrica deduzida matematicamente corresponde de forma exata à alternativa A.
Como a ordem em que os materiais são selecionados não altera a composição da fantasia final, trata-se de um problema de combinação simples, cuja fórmula geral é dada por $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Para os tecidos, a pessoa deve escolher 2 tipos simultâneos dentre os 6 disponíveis. O número de maneiras distintas de realizar essa seleção é calculado por:$$C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{4!2!}$$Para as pedras ornamentais, a exigência é escolher 5 tipos dentre os 15 disponíveis. Analogamente, o número de combinações para essa etapa é dado por:$$C_{15,5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{10!5!}$$Como a montagem de cada fantasia requer a união obrigatória dessas duas escolhas independentes, multiplicamos os resultados parciais obtidos para chegar ao número total de possibilidades de criação:$$\boxed{\frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{15!}{10!5!}}$$A expressão algébrica deduzida matematicamente corresponde de forma exata à alternativa A.
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