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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 136 • Álgebra
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação $φ^2$ = $φ + 1$.
Assim como a potência $φ^2$ as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ+b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência $φ^7$ escrita na forma aφ + b (a e a são inteiros positivos), é
Assim como a potência $φ^2$ as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ+b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência $φ^7$ escrita na forma aφ + b (a e a são inteiros positivos), éA 5φ + 3
B 7φ + 2
C 9φ + 6
D 11φ + 7
E 13φ + 8
Resolução
Para encontrar $\varphi^7$, partimos do valor de $\varphi^6$ dado na tabela:$$\varphi^6 = 8\varphi + 5$$Multiplicando por $\varphi$ para obter a próxima potência:$$\varphi^7 = \varphi(8\varphi + 5) = 8\varphi^2 + 5\varphi$$Como a relação fundamental é $\varphi^2 = \varphi + 1$, substituímos esse valor na equação:$$\varphi^7 = 8(\varphi + 1) + 5\varphi$$$$\varphi^7 = 8\varphi + 8 + 5\varphi$$Somando os termos semelhantes, obtemos o resultado final: $$\boxed{\mathbf{13\varphi + 8}}$$Outra forma rápida de confirmar é observar que os coeficientes $a$ e $b$ seguem a Sequência de Fibonacci.
• Para os coeficientes de $\varphi$ ($a$), a sequência é: $1, 2, 3, 5, 8 \rightarrow \mathbf{13}$.
• Para os coeficientes de $\varphi$ ($a$), a sequência é: $1, 2, 3, 5, 8 \rightarrow \mathbf{13}$.
• Para os termos independentes ($b$), a sequência é: $1, 1, 2, 3, 5 \rightarrow \mathbf{8}$.
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