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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 171 • Geometria
O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a divulgação de sua loja. A empresa que fornece o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R\$ 0,01 por centímetro quadrado e que os modelos disponíveis são confeccionados em formato de:
• um triângulo equilátero de lado 12 cm;
• um triângulo equilátero de lado 12 cm;
• um quadrado de lado 8 cm;
• um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
• um hexágono regular de lado 6 cm;
• um círculo de diâmetro 10 cm.
O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R\$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver a maior área. Use 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$ e 3 como aproximação para $\pi$.
Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como formato um
A triângulo.
B quadrado.
C retângulo.
D hexágono.
E círculo.
Resolução
Como o custo de fabricação é de R\$ 0,01 por centímetro quadrado e o limite de orçamento é de R\$ 0,80 por cartão, a área máxima admissível para cada cartão é:$$\text{Área Máxima} = \frac{\text{Custo Máximo}}{\text{Custo por cm}^2} = \frac{0,80}{0,01} = 80\text{ cm}^2$$Calculamos a área de cada modelo disponível para identificar quais respeitam esse limite e, entre eles, qual possui a maior área:
• Triângulo equilátero ($L = 12\text{ cm}$):$$A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \cdot 1,7}{4} = \frac{144 \cdot 1,7}{4} = 36 \cdot 1,7 = 61,2\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Quadrado ($L = 8\text{ cm}$):$$A = L^2 = 8^2 = 64\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Retângulo ($b = 11\text{ cm}$, $h = 8\text{ cm}$):$$A = b \cdot h = 11 \cdot 8 = 88\text{ cm}^2$$(Fora do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Hexágono regular ($L = 6\text{ cm}$):$$A = 6 \cdot \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot 9 \cdot 1,7 = 54 \cdot 1,7 = 91,8\text{ cm}^2$$(Fora do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Círculo ($D = 10\text{ cm} \implies r = 5\text{ cm}$):$$A = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
Comparando os modelos que estão dentro do limite de custo (triângulo com $61,2\text{ cm}^2$, quadrado com $64\text{ cm}^2$ e círculo com $75\text{ cm}^2$), o modelo que apresenta a maior área é o $\boxed{\text{círculo.}}$
• Triângulo equilátero ($L = 12\text{ cm}$):$$A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \cdot 1,7}{4} = \frac{144 \cdot 1,7}{4} = 36 \cdot 1,7 = 61,2\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Quadrado ($L = 8\text{ cm}$):$$A = L^2 = 8^2 = 64\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Retângulo ($b = 11\text{ cm}$, $h = 8\text{ cm}$):$$A = b \cdot h = 11 \cdot 8 = 88\text{ cm}^2$$(Fora do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Hexágono regular ($L = 6\text{ cm}$):$$A = 6 \cdot \frac{L^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot 9 \cdot 1,7 = 54 \cdot 1,7 = 91,8\text{ cm}^2$$(Fora do limite de $80\text{ cm}^2$)
• Círculo ($D = 10\text{ cm} \implies r = 5\text{ cm}$):$$A = \pi \cdot r^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\text{ cm}^2$$(Dentro do limite de $80\text{ cm}^2$)
Comparando os modelos que estão dentro do limite de custo (triângulo com $61,2\text{ cm}^2$, quadrado com $64\text{ cm}^2$ e círculo com $75\text{ cm}^2$), o modelo que apresenta a maior área é o $\boxed{\text{círculo.}}$
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