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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática

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Questão 138 • Estatística
ESSA QUESTÃO FOI ANULADA PELA BANCA OFICIAL ENEM
A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição. Imagem de apoio da questão
Disponível em: http>//campeoesdofutebol.com.br. Acesso em: 1 nov. 2018 (adaptado).
Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?
A $\frac{7!}{5!} ⋅ \frac{5!}{3!} ⋅ \frac{7!}{6!} ⋅ \frac{9!}{3! ⋅ 3!} ⋅ 10!$
B 7! ⋅ 5! ⋅ 7! ⋅ 9! ⋅ 10!
C 30!
D $\frac{7!}{5! ⋅ 5!} ⋅ \frac{7!}{5! ⋅ 2!} ⋅ \frac{9!}{5! ⋅ 4!}$
E $\frac{9!}{3!} ⋅ 5! ⋅ \frac{7!}{2!} ⋅ \frac{9!}{4!} ⋅ 10!$
Resolução
Essa questão foi oficialmente anulada.

O painel possui 6 linhas com 5 placas cada, totalizando 30 placas correspondentes às 30 edições (títulos) da competição. Como a ordem das placas em cada linha importa, calcula-se a quantidade de maneiras de preencher o painel por etapas:

• Linha 1 (Gaúchos): Há 7 títulos disponíveis (1 do Internacional, 5 do Grêmio e 1 do Juventude) para ocupar 5 vagas. O arranjo é dado por $\frac{7!}{2!}$.

• Linha 2 (Cariocas): Há 5 títulos disponíveis (3 do Flamengo, 1 do Vasco e 1 do Fluminense) para ocupar as 5 vagas da linha. A permutação é dada por $5!$.

• Linha 3 (Mineiros): Há 7 títulos disponíveis (6 do Cruzeiro e 1 do Atlético Mineiro) para ocupar 5 vagas. O arranjo é dado por $\frac{7!}{2!}$.

• Linha 4 (Paulistas): Há 9 títulos disponíveis (3 do Corinthians, 3 do Palmeiras, 1 do Santos, 1 do Paulista e 1 do Santo André) para ocupar 5 vagas. O arranjo é dado por $\frac{9!}{4!}$.

• Linhas 5 e 6 (Sem restrição): Foram utilizadas 20 placas nas quatro primeiras linhas, restando exatamente 10 placas para preencher as 10 vagas remanescentes. A permutação dessas sobras é dada por $10!$.

Pelo princípio multiplicativo, a expressão correta para o total de combinações do painel é:$$\boxed{\frac{7!}{2!} \cdot 5! \cdot \frac{7!}{2!} \cdot \frac{9!}{4!} \cdot 10!}$$ O resultado correto não está dentre as alternativas.

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