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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 156 • Álgebra
Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) de massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = ± A cos (ωt) ou P(t) = ± A sen (ωt), em que A > 0 é a amplitude de deslocamento máximo e ω é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula ω = $\frac{2π}{T}.$
Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas. 
A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é
A -3 cos (2t)
B -3 sen (2t)
C 3 cos (2t)
D -6 cos (2t)
E 6 sen (2t)
Resolução
Para determinar a expressão algébrica que representa a posição $P(t)$ da massa $m$, analisamos inicialmente os valores extremos e o comportamento da função no instante inicial $t = 0$. Pelo gráfico, observa-se que a amplitude máxima de deslocamento é $A = 3$ e que, no instante $t = 0$, a posição inicial da massa é $P(0) = -3$. Como a função assume seu valor mínimo no início do movimento, ela deve ser modelada por uma função cosseno com coeficiente negativo, ou seja, $P(t) = -A \cos(\omega t)$, o que resulta em $P(t) = -3 \cos(\omega t)$.
Em seguida, determinamos o período $T$ do movimento harmônico simples observando o intervalo de tempo necessário para que a massa complete um ciclo completo. O gráfico mostra que o sistema sai de um ponto de mínimo em $t = 0$ e retorna ao ponto de mínimo seguinte em $t = \pi$, o que define o período $T = \pi$ segundos. Sabendo que a frequência angular se relaciona com o período pela fórmula $\omega = \frac{2\pi}{T}$, substituímos o período encontrado para obter $\omega = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ rad/s. Substituindo a frequência angular e a amplitude na equação geral, a expressão algébrica correspondente ao gráfico é $\boxed{\text{P(t) = -3 cos(2t)}}$.
Em seguida, determinamos o período $T$ do movimento harmônico simples observando o intervalo de tempo necessário para que a massa complete um ciclo completo. O gráfico mostra que o sistema sai de um ponto de mínimo em $t = 0$ e retorna ao ponto de mínimo seguinte em $t = \pi$, o que define o período $T = \pi$ segundos. Sabendo que a frequência angular se relaciona com o período pela fórmula $\omega = \frac{2\pi}{T}$, substituímos o período encontrado para obter $\omega = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ rad/s. Substituindo a frequência angular e a amplitude na equação geral, a expressão algébrica correspondente ao gráfico é $\boxed{\text{P(t) = -3 cos(2t)}}$.
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