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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 176 • Geometria
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
A I
B II
C III
D IV
E V
Resolução
Para encontrar o ponto de conexão no eixo $x$ (Rodovia 003) que minimiza a distância total percorrida entre as cidades $A(20, 40)$ e $B(50, 20)$, aplicamos o princípio da reflexão (Problema de Heron). Refletimos a posição da cidade $B$ em relação ao eixo $x$, obtendo o ponto simétrico $B'(50, -20)$. A menor distância entre a cidade $A$ e o ponto refletido $B'$ é dada pelo segmento de reta que une diretamente esses dois pontos, e a interseção dessa reta com o eixo $x$ determina o ponto de conexão ideal.
A equação da reta que passa por $A(20, 40)$ e $B'(50, -20)$ possui coeficiente angular dado por:$$m = \frac{-20 - 40}{50 - 20} = \frac{-60}{30} = -2$$Utilizando a equação da reta na forma ponto-declividade com o ponto $A$, temos:$$y - 40 = -2(x - 20) \implies y = -2x + 80$$Para encontrar o ponto onde essa reta intercepta a Rodovia 003 (eixo $x$), definimos $y = 0$:$$0 = -2x + 80 \implies 2x = 80 \implies x = 40$$O valor obtido de $x = 40\text{ km}$ corresponde exatamente à $\boxed{\text{localização IV.}}$
A equação da reta que passa por $A(20, 40)$ e $B'(50, -20)$ possui coeficiente angular dado por:$$m = \frac{-20 - 40}{50 - 20} = \frac{-60}{30} = -2$$Utilizando a equação da reta na forma ponto-declividade com o ponto $A$, temos:$$y - 40 = -2(x - 20) \implies y = -2x + 80$$Para encontrar o ponto onde essa reta intercepta a Rodovia 003 (eixo $x$), definimos $y = 0$:$$0 = -2x + 80 \implies 2x = 80 \implies x = 40$$O valor obtido de $x = 40\text{ km}$ corresponde exatamente à $\boxed{\text{localização IV.}}$
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