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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 158 • Álgebra
Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = -$t^2$ + 10t + 24 sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
• I: $1 ≤ t ≤ 2$;
• I: $1 ≤ t ≤ 2$;
• II: $3 ≤ t ≤ 4$;
• III: $5 ≤ t ≤ 6$;
• IV: $7 ≤ t ≤ 9$;
• V: $10 ≤ t ≤ 12$.
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Resolução
Para determinar a proposta que deve ser escolhida, precisamos identificar em qual mês $t$ ocorre o número máximo de pessoas infectadas, de acordo com a função quadrática descrita por $p(t) = -t^2 + 10t + 24$.
Como o coeficiente que acompanha o termo quadrático é negativo ($a = -1$), a parábola que representa essa função tem concavidade voltada para baixo, o que garante a existência de um ponto de máximo absoluto. O valor de $t$ correspondente ao vértice dessa parábola, que representa o momento de pico da epidemia, é calculado pela fórmula do $t$ do vértice:$$t_v = -\frac{b}{2a}$$Substituindo os coeficientes da equação ($a = -1$ e $b = 10$):$$t_v = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$$Dessa forma, o maior número de infecções ocorre exatamente no mês $t = 5$. Analisando os intervalos de tempo propostos para a intensificação das propagandas, verificamos que o mês 5 está contido no intervalo da Proposta III, que abrange os meses de $5 \le t \le 6$.
Portanto, a proposta escolhida foi a $\boxed{\text{III.}}$
Como o coeficiente que acompanha o termo quadrático é negativo ($a = -1$), a parábola que representa essa função tem concavidade voltada para baixo, o que garante a existência de um ponto de máximo absoluto. O valor de $t$ correspondente ao vértice dessa parábola, que representa o momento de pico da epidemia, é calculado pela fórmula do $t$ do vértice:$$t_v = -\frac{b}{2a}$$Substituindo os coeficientes da equação ($a = -1$ e $b = 10$):$$t_v = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$$Dessa forma, o maior número de infecções ocorre exatamente no mês $t = 5$. Analisando os intervalos de tempo propostos para a intensificação das propagandas, verificamos que o mês 5 está contido no intervalo da Proposta III, que abrange os meses de $5 \le t \le 6$.
Portanto, a proposta escolhida foi a $\boxed{\text{III.}}$
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