ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática

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Questão 169 • Geometria

Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d'água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é $A_b$ como segue:

• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;

• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;

• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;

• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.

Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d'água que ofereça a maior capacidade volumétrica.

O modelo escolhido deve ser o

A I.

B II.

C III.

D IV.

E V.

Resolução

O volume de um cilindro reto é calculado pelo produto da área da base pela sua profundidade ($V = A_b \cdot P$). Para o modelo I, o volume é $V_{\text{I}} = A_b \cdot P$.

Analisando os demais modelos em relação ao modelo I, temos:

• O volume do modelo II é $V_{\text{II}} = \frac{A_b}{2} \cdot 2P = A_b \cdot P$.

• No modelo III, reduzir o raio à metade reduz a área da base a um quarto ($\frac{A_b}{4}$), resultando no volume $V_{\text{III}} = \frac{A_b}{4} \cdot 2P = 0,5 \cdot A_b \cdot P$.

• O volume do modelo IV é $V_{\text{IV}} = 2A_b \cdot \frac{P}{2} = A_b \cdot P$.

• No modelo V, duplicar o raio quadruplica a área da base ($4A_b$), o que resulta no volume $V_{\text{V}} = 4A_b \cdot \frac{P}{2} = 2 \cdot A_b \cdot P$.

Comparando as capacidades, o modelo V possui o maior volume, correspondendo ao dobro da capacidade do modelo I. O modelo escolhido deve ser o $\boxed{\text{V.}}$

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