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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 142 • Combinatória
Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
A 8.
B 9.
C 11.
D 18.
E 24.
Resolução
Atualmente, a montadora oferece 7 modelos de carros e 2 tipos de motores. Em relação aos opcionais, o cliente tem 3 itens disponíveis (central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro) e pode escolher qualquer subconjunto deles, incluindo nenhum. Como cada um dos 3 opcionais pode ser escolhido ou não (2 possibilidades para cada um), o número de combinações de opcionais é dado por $2^3 = 8$ alternativas possíveis (que correspondem a levar nenhum, exatamente um, exatamente dois ou os três opcionais).
Multiplicando essas três primeiras categorias, determinamos o número de configurações básicas do veículo, sem considerar a cor:$$7 \text{ (modelos)} \times 2 \text{ (motores)} \times 8 \text{ (opcionais)} = 112 \text{ configurações básicas}$$Chamando de $C$ o número de cores disponíveis, o total de configurações completas será de $112 \times C$. Como a montadora divulgou que oferece mais de 1 000 configurações diferentes, estabelecemos a seguinte inequação:$$112 \times C > 1000$$Isolando a variável $C$, temos:$$C > \frac{1000}{112} \approx 8,93$$Como a quantidade de cores deve ser expressa por um número inteiro, o menor valor inteiro que satisfaz essa condição e garante que o total de configurações ultrapasse 1 000 é $\boxed{9}$. Se a montadora oferecesse apenas 8 cores, o total de configurações seria de exatamente 896, o que não cumpriria a promessa publicitária de superar as mil opções. Com 9 cores, a empresa atinge 1 008 configurações distintas.
Multiplicando essas três primeiras categorias, determinamos o número de configurações básicas do veículo, sem considerar a cor:$$7 \text{ (modelos)} \times 2 \text{ (motores)} \times 8 \text{ (opcionais)} = 112 \text{ configurações básicas}$$Chamando de $C$ o número de cores disponíveis, o total de configurações completas será de $112 \times C$. Como a montadora divulgou que oferece mais de 1 000 configurações diferentes, estabelecemos a seguinte inequação:$$112 \times C > 1000$$Isolando a variável $C$, temos:$$C > \frac{1000}{112} \approx 8,93$$Como a quantidade de cores deve ser expressa por um número inteiro, o menor valor inteiro que satisfaz essa condição e garante que o total de configurações ultrapasse 1 000 é $\boxed{9}$. Se a montadora oferecesse apenas 8 cores, o total de configurações seria de exatamente 896, o que não cumpriria a promessa publicitária de superar as mil opções. Com 9 cores, a empresa atinge 1 008 configurações distintas.
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