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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática

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Questão 141 • Combinatória
Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.Imagem de apoio da questãoO jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.Imagem de apoio da questãoA probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é
A $\large \frac{1}{46} + \frac{1}{45}$
B $\large \frac{1}{46} + \frac{2}{46 × 45}$
C $\large \frac{1}{46} + \frac{8}{46 × 45}$
D $\large \frac{1}{46} + \frac{43}{46 × 45}$
E $\large \frac{1}{46} + \frac{49}{46 × 45}$
Resolução
Podemos dividir a conquista de Pedro em dois cenários mutuamente exclusivos: vencer logo na quinta rodada (rodada 5) ou não vencer na quinta rodada e vencer na sexta rodada (rodada 6).

No primeiro cenário, Pedro vence na rodada 5 se o número sorteado for o 12, pois esse é o único número capaz de completar uma linha com apenas um sorteio. Como restam 46 números na urna, a probabilidade de isso ocorrer é:$$P(\text{Vencer na rodada 5}) = \frac{1}{46}$$No segundo cenário, Pedro não vence na rodada 5 (o que significa que o número 12 não foi sorteado nessa rodada), mas consegue vencer na rodada 6. Para calcular essa probabilidade com o denominador comum do espaço amostral de dois sorteios consecutivos e ordenados, consideramos que existem $46 \times 45$ pares possíveis de resultados para as rodadas 5 e 6.

Agora, contamos quantos desses pares ordenados $(R_5, R_6)$ fazem Pedro vencer na rodada 6, sabendo que $R_5 \neq 12$:

• Completando a primeira linha na rodada 6: Isso exige que o número 12 seja sorteado na rodada 6. Como o primeiro sorteio não foi o 12, ele pode ter sido qualquer um dos outros 45 números restantes. Isso nos dá exatamente 45 pares ordenados possíveis do tipo $(R_5, 12)$.

• Completando a quarta coluna na rodada 6: Isso exige que os números 05 e 45 sejam sorteados nessas duas rodadas. Existem exatamente 2 pares ordenados que atendem a essa condição: $(05, 45)$ e $(45, 05)$.

• Completando a diagonal principal na rodada 6: Isso exige que os números 11 e 19 sejam sorteados nessas duas rodadas. Há também exatamente 2 pares ordenados possíveis: $(11, 19)$ e $(19, 11)$.

Como esses casos são totalmente distintos, somamos a quantidade de pares favoráveis: $45 + 2 + 2 = 49$ pares favoráveis em um total de $46 \times 45$ possibilidades. A probabilidade desse segundo cenário é:$$P(\text{Vencer apenas na rodada 6}) = \frac{49}{46 \times 45}$$Somando as probabilidades dos dois cenários possíveis para obter a probabilidade total de vitória em uma das duas próximas rodadas, chegamos à expressão da alternativa E:$$\boxed{\frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}}$$

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