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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 172 • Geometria
Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepipedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:
• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:
• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.
O projeto que o casal deverá escolher será o
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Resolução
Sendo $h$ a profundidade, $w$ la largura e $l$ o comprimento, a área de revestimento $A$ é expressa pela fórmula:$$A = w \cdot l + 2 \cdot h \cdot (w + l)$$Substituindo os valores para cada um dos cinco projetos apresentados, obtemos:
Para o projeto I, com $h = 1,8\text{ m}$, $w = 2,0\text{ m}$ e $l = 25,0\text{ m}$:$$A_{\text{I}} = 2,0 \cdot 25,0 + 2 \cdot 1,8 \cdot (2,0 + 25,0) = 50 + 3,6 \cdot 27 = 147,2\text{ m}^2$$Para o projeto II, com $h = 2,0\text{ m}$, $w = 5,0\text{ m}$ e $l = 9,0\text{ m}$:$$A_{\text{II}} = 5,0 \cdot 9,0 + 2 \cdot 2,0 \cdot (5,0 + 9,0) = 45 + 4 \cdot 14 = 101\text{ m}^2$$Para o projeto III, com $h = 1,0\text{ m}$, $w = 6,0\text{ m}$ e $l = 15,0\text{ m}$:$$A_{\text{III}} = 6,0 \cdot 15,0 + 2 \cdot 1,0 \cdot (6,0 + 15,0) = 90 + 2 \cdot 21 = 132\text{ m}^2$$Para o projeto IV, com $h = 1,5\text{ m}$, $w = 15,0\text{ m}$ e $l = 4,0\text{ m}$:$$A_{\text{IV}} = 15,0 \cdot 4,0 + 2 \cdot 1,5 \cdot (15,0 + 4,0) = 60 + 3 \cdot 19 = 117\text{ m}^2$$Para o projeto V, com $h = 2,5\text{ m}$, $w = 3,0\text{ m}$ e $l = 12,0\text{ m}$:$$A_{\text{V}} = 3,0 \cdot 12,0 + 2 \cdot 2,5 \cdot (3,0 + 12,0) = 36 + 5 \cdot 15 = 111\text{ m}^2$$Comparando os resultados, a menor área de revestimento corresponde a $101\text{ m}^2$. Portanto, o projeto que o casal deverá escolher será o $\boxed{\text{II.}}$
Para o projeto I, com $h = 1,8\text{ m}$, $w = 2,0\text{ m}$ e $l = 25,0\text{ m}$:$$A_{\text{I}} = 2,0 \cdot 25,0 + 2 \cdot 1,8 \cdot (2,0 + 25,0) = 50 + 3,6 \cdot 27 = 147,2\text{ m}^2$$Para o projeto II, com $h = 2,0\text{ m}$, $w = 5,0\text{ m}$ e $l = 9,0\text{ m}$:$$A_{\text{II}} = 5,0 \cdot 9,0 + 2 \cdot 2,0 \cdot (5,0 + 9,0) = 45 + 4 \cdot 14 = 101\text{ m}^2$$Para o projeto III, com $h = 1,0\text{ m}$, $w = 6,0\text{ m}$ e $l = 15,0\text{ m}$:$$A_{\text{III}} = 6,0 \cdot 15,0 + 2 \cdot 1,0 \cdot (6,0 + 15,0) = 90 + 2 \cdot 21 = 132\text{ m}^2$$Para o projeto IV, com $h = 1,5\text{ m}$, $w = 15,0\text{ m}$ e $l = 4,0\text{ m}$:$$A_{\text{IV}} = 15,0 \cdot 4,0 + 2 \cdot 1,5 \cdot (15,0 + 4,0) = 60 + 3 \cdot 19 = 117\text{ m}^2$$Para o projeto V, com $h = 2,5\text{ m}$, $w = 3,0\text{ m}$ e $l = 12,0\text{ m}$:$$A_{\text{V}} = 3,0 \cdot 12,0 + 2 \cdot 2,5 \cdot (3,0 + 12,0) = 36 + 5 \cdot 15 = 111\text{ m}^2$$Comparando os resultados, a menor área de revestimento corresponde a $101\text{ m}^2$. Portanto, o projeto que o casal deverá escolher será o $\boxed{\text{II.}}$
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