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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 166 • Geometria
O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.
Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:
• Fornecedor I: "O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso."
Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pelos fornecedores foram as seguintes:
• Fornecedor I: "O dobro, tanto para as paredes quanto para o piso."
• Fornecedor II: "O dobro para as paredes e quatro vezes para o piso."
• Fornecedor III: "Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso."
• Fornecedor IV: "Quatro vezes para as paredes e o dobro para o piso."
• Fornecedor V: "Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso."
Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes.
Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo ser o escolhido pelo construtor para a aquisição do material?
A I
B II
C III
D IV
E V
Resolução
Denotando por $C$ o comprimento, $L$ a largura e $H$ a altura originais, a área do piso do contêiner correspondia inicialmente a $A_{\text{piso}} = C \cdot L$. Com a duplicação simultânea do comprimento e da largura, a nova área do piso passa a ser $(2C) \cdot (2L) = 4(C \cdot L)$, o que representa um aumento de exatamente quatro vezes em relação à área original, demandando, portanto, quatro vezes mais tinta epóxi.
Para as quatro paredes verticais, a área total original a ser pintada (considerando os lados interno e externo) é diretamente proporcional ao perímetro da base multiplicado pela altura $H$, sendo expressa matematicamente por $2 \cdot [2(C + L) \cdot H] = 4H(C + L)$. Ao dobrarmos o comprimento e a largura mantendo a altura inalterada, o novo perímetro da base passa a ser $2(2C + 2L) = 4(C + L)$, que é exatamente o dobro do perímetro original. Como a altura permanece constante, a nova área total das paredes é dada por $2 \cdot [2(2C + 2L) \cdot H] = 8H(C + L)$, o que equivale a exatamente o dobro da quantidade de tinta acrílica original.
Confrontando essas variações de duas vezes para as paredes e quatro vezes para o piso com as informações enviadas, conclui-se que o parceiro comercial adequado é o $\boxed{\text{Fornecedor II.}}$
Para as quatro paredes verticais, a área total original a ser pintada (considerando os lados interno e externo) é diretamente proporcional ao perímetro da base multiplicado pela altura $H$, sendo expressa matematicamente por $2 \cdot [2(C + L) \cdot H] = 4H(C + L)$. Ao dobrarmos o comprimento e a largura mantendo a altura inalterada, o novo perímetro da base passa a ser $2(2C + 2L) = 4(C + L)$, que é exatamente o dobro do perímetro original. Como a altura permanece constante, a nova área total das paredes é dada por $2 \cdot [2(2C + 2L) \cdot H] = 8H(C + L)$, o que equivale a exatamente o dobro da quantidade de tinta acrílica original.
Confrontando essas variações de duas vezes para as paredes e quatro vezes para o piso com as informações enviadas, conclui-se que o parceiro comercial adequado é o $\boxed{\text{Fornecedor II.}}$
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