Voltar para Materiais
ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 155 • Combinatória
Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.
Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.
De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
A $9 × \large \frac{6!}{(6 - 2)!}$
B $9 × \large \frac{6!}{(6 - 2)!×2!}$
C $9 × \large \frac{4!}{(4 - 2)!×2!}$
D $9 × \large \frac{2!}{(2 - 2)!×2!}$
E $9 × \large \left(\frac{8!}{(8 - 2)!×2!} - 1\right)$
Resolução
Para cada um dos 9 andares do edifício, há exatamente 6 apartamentos disponíveis que atendem à condição de receber sol pela manhã em pelo menos um dos quartos (aqueles com numeração final de 1 a 6).
A escolha de 2 desses apartamentos em um mesmo andar, sem que a ordem da seleção importe, é modelada por uma combinação simples de 6 elementos tomados de 2 em 2:$$C_{6, 2} = \frac{6!}{(6 - 2)! \times 2!}$$Como o comprador deve escolher um único andar dentre os 9 disponíveis para realizar essa aquisição, multiplicamos a quantidade de combinações de um andar pelo número total de andares, resultando na expressão correspondente à alternativa correta:$$\boxed{9 \times \frac{6!}{(6 - 2)! \times 2!}}$$
A escolha de 2 desses apartamentos em um mesmo andar, sem que a ordem da seleção importe, é modelada por uma combinação simples de 6 elementos tomados de 2 em 2:$$C_{6, 2} = \frac{6!}{(6 - 2)! \times 2!}$$Como o comprador deve escolher um único andar dentre os 9 disponíveis para realizar essa aquisição, multiplicamos a quantidade de combinações de um andar pelo número total de andares, resultando na expressão correspondente à alternativa correta:$$\boxed{9 \times \frac{6!}{(6 - 2)! \times 2!}}$$
MateBásica