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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 153 • Geometria
Uma empresa produz e vende um tipo de chocolate, maciço, em formato de cone circular reto com as medidas do diâmetro da base e da altura iguais a 8 cm e 10 cm, respectivamente, como apresenta a figura.
Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.
Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a
Devido a um aumento de preço dos ingredientes utilizados na produção desse chocolate, a empresa decide produzir esse mesmo tipo de chocolate com um volume 19% menor, no mesmo formato de cone circular reto com altura de 10 cm.Para isso, a empresa produzirá esses novos chocolates com medida do raio da base, em centímetro, igual a
A 1,52.
B 3,24.
C 3,60.
D 6,48.
E 7,20.
Resolução
Para determinar a medida do raio da base do novo chocolate, analisamos a relação entre os volumes dos dois cones circulares retos. O volume de um cone é calculado pela fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
O cone original possui diâmetro de $8\text{ cm}$, o que significa que seu raio inicial é $r_1 = 4\text{ cm}$. A altura original é $h_1 = 10\text{ cm}$. Assim, seu volume é dado por:$$V_1 = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10)$$O novo cone possui a mesma altura de $h_2 = 10\text{ cm}$, mas seu volume $V_2$ deve ser 19% menor que o original, o que equivale a 81% do volume inicial ($V_2 = 0{,}81 \cdot V_1$). Representando o novo raio por $r_2$, escrevemos a equação para o novo volume:$$V_2 = \frac{1}{3} \pi (r_2)^2 (10)$$Substituindo a relação de proporcionalidade entre os volumes, estabelecemos a seguinte igualdade:$$\frac{1}{3} \pi (r_2)^2 (10) = 0{,}81 \cdot \left[ \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10) \right]$$Simplificamos a equação cancelando os termos comuns $\frac{1}{3}$, $\pi$ e $10$ em ambos os lados:$$(r_2)^2 = 0{,}81 \cdot 4^2$$Para encontrar o valor de $r_2$, aplicamos a raiz quadrada em ambos os membros da equação:$$r_2 = \sqrt{0{,}81 \cdot 16}$$$$r_2 = \sqrt{0{,}81} \cdot \sqrt{16}$$$$r_2 = 0{,}9 \cdot 4 = \boxed{3{,}6\text{ cm}}$$
O cone original possui diâmetro de $8\text{ cm}$, o que significa que seu raio inicial é $r_1 = 4\text{ cm}$. A altura original é $h_1 = 10\text{ cm}$. Assim, seu volume é dado por:$$V_1 = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10)$$O novo cone possui a mesma altura de $h_2 = 10\text{ cm}$, mas seu volume $V_2$ deve ser 19% menor que o original, o que equivale a 81% do volume inicial ($V_2 = 0{,}81 \cdot V_1$). Representando o novo raio por $r_2$, escrevemos a equação para o novo volume:$$V_2 = \frac{1}{3} \pi (r_2)^2 (10)$$Substituindo a relação de proporcionalidade entre os volumes, estabelecemos a seguinte igualdade:$$\frac{1}{3} \pi (r_2)^2 (10) = 0{,}81 \cdot \left[ \frac{1}{3} \pi (4)^2 (10) \right]$$Simplificamos a equação cancelando os termos comuns $\frac{1}{3}$, $\pi$ e $10$ em ambos os lados:$$(r_2)^2 = 0{,}81 \cdot 4^2$$Para encontrar o valor de $r_2$, aplicamos a raiz quadrada em ambos os membros da equação:$$r_2 = \sqrt{0{,}81 \cdot 16}$$$$r_2 = \sqrt{0{,}81} \cdot \sqrt{16}$$$$r_2 = 0{,}9 \cdot 4 = \boxed{3{,}6\text{ cm}}$$
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