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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 152 • Álgebra
Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = $x^2$ + xy - $y^2$ e $x * y = xy + x$.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) * (bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) * (bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!". Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
A $\sqrt{5}$
B $\sqrt{3}$
C $\sqrt{1}$
D $\large \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
E $\large \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
Resolução
Substituindo o valor de entrada $b = 1$ nas definições da operação triângulo, obtemos duas expressões distintas para $a \Delta 1$ e $1 \Delta a$. A primeira expressão resulta em $a \Delta 1 = a^2 + a(1) - 1^2 = a^2 + a - 1$, enquanto a segunda nos dá $1 \Delta a = 1^2 + 1(a) - a^2 = -a^2 + a + 1$.
Ao aplicar a operação estrela à igualdade $(a \Delta 1) * (1 \Delta a) = 0$, podemos simplificar a estrutura definindo $X = a \Delta 1$ e $Y = 1 \Delta a$. Como a regra da estrela estabelece que $X * Y = XY + X$, podemos colocar $X$ em evidência, reescrevendo a equação como $X(Y + 1) = 0$. Para que esse produto seja nulo, devemos ter $X = 0$ ou $Y + 1 = 0$, o que nos dá duas frentes de resolução.No primeiro caso, igualando $X$ a zero, temos a equação quadrática $a^2 + a - 1 = 0$, cujas soluções por Bhaskara são $a = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1,62$ e $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,62$. No segundo caso, igualando $Y$ a $-1$, temos $-a^2 + a + 1 = -1$, que se simplifica para $a^2 - a - 2 = 0$. Fatorando essa expressão como $(a - 2)(a + 1) = 0$, encontramos as raízes $a = -1$ e $a = 2$.
Ao ordenar as quatro soluções encontradas da menor para a maior, temos $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, $-1$, $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ e $2$. Como o sistema de transmissão exige a soma das duas maiores soluções, selecionamos os valores $2$ e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Realizando a soma entre eles, obtemos:$$2 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$$Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será $\boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$.
Ao aplicar a operação estrela à igualdade $(a \Delta 1) * (1 \Delta a) = 0$, podemos simplificar a estrutura definindo $X = a \Delta 1$ e $Y = 1 \Delta a$. Como a regra da estrela estabelece que $X * Y = XY + X$, podemos colocar $X$ em evidência, reescrevendo a equação como $X(Y + 1) = 0$. Para que esse produto seja nulo, devemos ter $X = 0$ ou $Y + 1 = 0$, o que nos dá duas frentes de resolução.No primeiro caso, igualando $X$ a zero, temos a equação quadrática $a^2 + a - 1 = 0$, cujas soluções por Bhaskara são $a = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1,62$ e $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,62$. No segundo caso, igualando $Y$ a $-1$, temos $-a^2 + a + 1 = -1$, que se simplifica para $a^2 - a - 2 = 0$. Fatorando essa expressão como $(a - 2)(a + 1) = 0$, encontramos as raízes $a = -1$ e $a = 2$.
Ao ordenar as quatro soluções encontradas da menor para a maior, temos $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, $-1$, $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ e $2$. Como o sistema de transmissão exige a soma das duas maiores soluções, selecionamos os valores $2$ e $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Realizando a soma entre eles, obtemos:$$2 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - 1 + \sqrt{5}}{2} = \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$$Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será $\boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$.
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