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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 150 • Álgebra
Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola $y = -\frac{x^2}{6}$ - $\frac{7x}{3}+12$, em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
• ginásio I: 17 m;
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.
O saque desse atleta foi invalidado
A apenas no ginásio I.
B apenas nos ginásios I e II.
C apenas nos ginásios I, II e III.
D apenas nos ginásios I, II, III e IV.
E em todos os ginásios.
Resolução
1. Equação da trajetória (parábola): $$y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12$$Identificamos os coeficientes: $a = -\frac{1}{6}$, $b = -\frac{7}{3}$ e $c = 12$.
2. Cálculo da altura máxima em relação ao eixo $x$ ($y_v$):
Calculamos primeiro o discriminante ($\Delta$):$$\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 4\left(-\frac{1}{6}\right)(12)$$$$\Delta = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49 + 72}{9} = \frac{121}{9}$$Em seguida, determinamos a ordenada do vértice ($y_v$):$$y_v = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{\frac{121}{9}}{4\left(-\frac{1}{6}\right)} = \frac{\frac{121}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{6} \approx 20,17\text{ m}$$3. Altura máxima real em relação ao piso ($H_{\text{máx}}$):
Como o eixo $x$ está posicionado a $1,5\text{ m}$ do piso da quadra, somamos essa referência à altura máxima da parábola:$$H_{\text{máx}} = y_v + 1,5 = 20,17 + 1,5 = 21,67\text{ m}$$Conclusão: O saque atinge uma altura máxima de aproximadamente $21,67\text{ m}$. Comparando esse valor com o teto de cada ginásio, a bola atingirá o teto (invalidando o saque) em qualquer ginásio com altura menor que $21,67\text{ m}$:
• Ginásio I (17 m): $21,67 > 17$ (invalidado)
2. Cálculo da altura máxima em relação ao eixo $x$ ($y_v$):
Calculamos primeiro o discriminante ($\Delta$):$$\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 4\left(-\frac{1}{6}\right)(12)$$$$\Delta = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49 + 72}{9} = \frac{121}{9}$$Em seguida, determinamos a ordenada do vértice ($y_v$):$$y_v = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{\frac{121}{9}}{4\left(-\frac{1}{6}\right)} = \frac{\frac{121}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{6} \approx 20,17\text{ m}$$3. Altura máxima real em relação ao piso ($H_{\text{máx}}$):
Como o eixo $x$ está posicionado a $1,5\text{ m}$ do piso da quadra, somamos essa referência à altura máxima da parábola:$$H_{\text{máx}} = y_v + 1,5 = 20,17 + 1,5 = 21,67\text{ m}$$Conclusão: O saque atinge uma altura máxima de aproximadamente $21,67\text{ m}$. Comparando esse valor com o teto de cada ginásio, a bola atingirá o teto (invalidando o saque) em qualquer ginásio com altura menor que $21,67\text{ m}$:
• Ginásio I (17 m): $21,67 > 17$ (invalidado)
• Ginásio II (18 m): $21,67 > 18$ (invalidado)
• Ginásio III (19 m): $21,67 > 19$ (invalidado)
• Ginásio IV (21 m): $21,67 > 21$ (invalidado)
• Ginásio V (40 m): $21,67 < 40$ (válido).
Portanto, o saque será $\boxed{\text{inválido apenas nos ginásios I, II, III e IV.}}$
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