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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 146 • Álgebra
Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
A 10.
B 13.
C 14.
D 15.
E 16.
Resolução
Primeiro precisamos determinar o comprimento de cada um dos dois circuitos. Vamos chamar de $x$ o comprimento do circuito maior e de $y$ o comprimento do circuito menor.
A partir das informações sobre o treino do primeiro dia, podemos montar um sistema com duas equações lineares:$$3x + 2y = 1800$$$$2x + y = 1100$$Podemos isolar $y$ na segunda equação, obtendo $y = 1100 - 2x$, e substituir esse valor na primeira equação:$$3x + 2(1100 - 2x) = 1800$$$$3x + 2200 - 4x = 1800$$$$-x = -400 \implies x = 400\text{ m}$$Substituindo o valor de $x$ na expressão de $y$:$$y = 1100 - 2(400) \implies y = 300\text{ m}$$Assim, descobrimos que o circuito maior mede 400 metros e o menor mede 300 metros.
No segundo dia, o corredor planeja percorrer exatamente 5 000 metros fazendo um número inteiro de voltas em cada circuito. Sendo $a$ o número de voltas no circuito maior e $b$ o número de voltas no circuito menor, estabelecemos a relação:$$400a + 300b = 5000$$$$4a + 3b = 50$$Como queremos que o número total de voltas ($a + b$) seja o maior possível, devemos priorizar as voltas no circuito menor (de 300 metros), já que ele exige menos metros por volta. Logo, queremos maximizar o valor de $b$. Para que $a$ e $b$ sejam números inteiros não negativos, isolamos $b$ na equação simplificada:$$3b = 50 - 4a \implies b = \frac{50 - 4a}{3}$$Para que $b$ seja um número inteiro, o numerador $50 - 4a$ deve ser um múltiplo de 3. Testando os menores valores inteiros possíveis para $a$:
• Se $a = 0$, temos $b = 50/3$ (não é inteiro).
A partir das informações sobre o treino do primeiro dia, podemos montar um sistema com duas equações lineares:$$3x + 2y = 1800$$$$2x + y = 1100$$Podemos isolar $y$ na segunda equação, obtendo $y = 1100 - 2x$, e substituir esse valor na primeira equação:$$3x + 2(1100 - 2x) = 1800$$$$3x + 2200 - 4x = 1800$$$$-x = -400 \implies x = 400\text{ m}$$Substituindo o valor de $x$ na expressão de $y$:$$y = 1100 - 2(400) \implies y = 300\text{ m}$$Assim, descobrimos que o circuito maior mede 400 metros e o menor mede 300 metros.
No segundo dia, o corredor planeja percorrer exatamente 5 000 metros fazendo um número inteiro de voltas em cada circuito. Sendo $a$ o número de voltas no circuito maior e $b$ o número de voltas no circuito menor, estabelecemos a relação:$$400a + 300b = 5000$$$$4a + 3b = 50$$Como queremos que o número total de voltas ($a + b$) seja o maior possível, devemos priorizar as voltas no circuito menor (de 300 metros), já que ele exige menos metros por volta. Logo, queremos maximizar o valor de $b$. Para que $a$ e $b$ sejam números inteiros não negativos, isolamos $b$ na equação simplificada:$$3b = 50 - 4a \implies b = \frac{50 - 4a}{3}$$Para que $b$ seja um número inteiro, o numerador $50 - 4a$ deve ser um múltiplo de 3. Testando os menores valores inteiros possíveis para $a$:
• Se $a = 0$, temos $b = 50/3$ (não é inteiro).
• Se $a = 1$, temos $b = 46/3$ (não é inteiro).
• Se $a = 2$, temos $b = 42/3 = 14$ (valor inteiro válido).
Qualquer outro valor inteiro de $a$ que resulte em um número inteiro para $b$ será maior do que 2 (como $a = 5$ com $b = 10$, ou $a = 8$ com $b = 6$), o que diminuiria o valor de $b$ e, consequentemente, reduziria a soma total de voltas.Portanto, a combinação que maximiza o número total de voltas é realizar 2 voltas no circuito maior e 14 voltas no circuito menor. A soma total de voltas no segundo dia será:$$a + b = 2 + 14 = \boxed{16}$$
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