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ENEM 2021 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 142 • Estatística, Combinatória
O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
A 2.
B 4.
C 6.
D 9.
E 10.
Resolução
A probabilidade de um jogador pontuar (acertar pelo menos um dardo) em $n$ lançamentos é o complementar de errar todos eles.
Sendo $\frac{1}{2}$ a chance de errar cada lançamento individualmente, a probabilidade de errar todos os $n$ lançamentos é de $(\frac{1}{2})^n$. Queremos que a chance de pontuar seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$:$$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge \frac{9}{10}$$$$\frac{1}{10} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^n$$$$2^n \ge 10$$O menor valor inteiro de $n$ que satisfaz essa inequação é 4, já que $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$.
Assim, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados é $\boxed{4.}$
Sendo $\frac{1}{2}$ a chance de errar cada lançamento individualmente, a probabilidade de errar todos os $n$ lançamentos é de $(\frac{1}{2})^n$. Queremos que a chance de pontuar seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$:$$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \ge \frac{9}{10}$$$$\frac{1}{10} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^n$$$$2^n \ge 10$$O menor valor inteiro de $n$ que satisfaz essa inequação é 4, já que $2^3 = 8$ e $2^4 = 16$.
Assim, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados é $\boxed{4.}$
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