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ENEM 2022 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 137 • Combinatória
A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $\frac{1}{2}$. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre $\frac{1}{2}$. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
A $\large \frac{35}{64}$
B $\large \frac{40}{64}$
C $\large \frac{42}{64}$
D $\large \frac{44}{64}$
E $\large \frac{52}{64}$
Resolução
Chamemos de Time A o que venceu a primeira partida e de Time B o seu adversário. Como o torneio é disputado em uma série de até sete partidas, o campeão é quem completar primeiro 4 vitórias. Como o Time A já largou na frente vencendo o primeiro jogo, ele necessita de apenas mais 3 vitórias para se sagrar campeão, enquanto o Time B precisa de mais 4 vitórias.
Como restam no máximo 6 partidas, podemos analisar o problema imaginando o cenário equivalente em que todas essas 6 partidas restantes fossem obrigatoriamente disputadas. O Time A será o campeão se, e somente se, vencer 3 ou mais dessas 6 partidas restantes. Caso contrário (se vencer 2 ou menos), o Time B ganhará 4 ou mais e levará o título.
Sendo a probabilidade de vitória de qualquer um dos times igual a $\frac{1}{2}$ em cada partida individual, a quantidade de vitórias $X$ do Time A nas 6 partidas restantes segue uma distribuição binomial. Queremos encontrar a probabilidade de ocorrer $X \ge 3$, que é a soma das probabilidades de o Time A obter exatamente 3, 4, 5 ou 6 vitórias.
Calculando cada um desses termos pela fórmula da combinação com a fórmula da Distribuição Binomial: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ • A probabilidade de obter exatamente 3 vitórias é $\binom{6}{3} (\frac{1}{2})^6 = \frac{20}{64}$
Como restam no máximo 6 partidas, podemos analisar o problema imaginando o cenário equivalente em que todas essas 6 partidas restantes fossem obrigatoriamente disputadas. O Time A será o campeão se, e somente se, vencer 3 ou mais dessas 6 partidas restantes. Caso contrário (se vencer 2 ou menos), o Time B ganhará 4 ou mais e levará o título.
Sendo a probabilidade de vitória de qualquer um dos times igual a $\frac{1}{2}$ em cada partida individual, a quantidade de vitórias $X$ do Time A nas 6 partidas restantes segue uma distribuição binomial. Queremos encontrar a probabilidade de ocorrer $X \ge 3$, que é a soma das probabilidades de o Time A obter exatamente 3, 4, 5 ou 6 vitórias.
Calculando cada um desses termos pela fórmula da combinação com a fórmula da Distribuição Binomial: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ • A probabilidade de obter exatamente 3 vitórias é $\binom{6}{3} (\frac{1}{2})^6 = \frac{20}{64}$
• A probabilidade de obter exatamente 4 vitórias é $\binom{6}{4} (\frac{1}{2})^6 = \frac{15}{64}$
• A probabilidade de obter exatamente 5 vitórias é $\binom{6}{5} (\frac{1}{2})^6 = \frac{6}{64}$
• A probabilidade de obter exatamente 6 vitórias é $\binom{6}{6} (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$
Somando todos esses casos favoráveis ao Time A, obtemos:$$P(X \ge 3) = \frac{20}{64} + \frac{15}{64} + \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \boxed{\frac{42}{64}}$$
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