ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática

Para determinar qual das duas embalagens possui a maior capacidade (volume) e calcular esse valor, utilizamos a fórmula do volume de um cilindro circular reto:$$V = \pi r^2 h$$Sabemos que a folha de alumínio retangular forma a superfície lateral do cilindro. Portanto, a dimensão da folha que não é utilizada como altura ($h$) corresponderá ao comprimento da circunferência da base ($C = 2\pi r$). Isolando o raio ($r$), temos:$$r = \frac{C}{2\pi}$$Ao substituir o raio diretamente na fórmula do volume, obtemos uma expressão geral que relaciona a capacidade do cilindro diretamente com o perímetro de sua base e sua altura:$$V = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 h = \frac{C^2 h}{4\pi}$$Agora, aplicamos as dimensões da folha de $10\text{ cm}$ por $20\text{ cm}$ para calcular o volume de cada opção de montagem:

• Embalagem 1 (com altura $h = 20\text{ cm}$ e perímetro da base $C = 10\text{ cm}$):$$V_1 = \frac{10^2 \cdot 20}{4\pi} = \frac{100 \cdot 20}{4\pi} = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}\text{ cm}^3$$ • Embalagem 2 (com altura $h = 10\text{ cm}$ e perímetro da base $C = 20\text{ cm}$):$$V_2 = \frac{20^2 \cdot 10}{4\pi} = \frac{400 \cdot 10}{4\pi} = \frac{4000}{4\pi} = \frac{1000}{\pi}\text{ cm}^3$$Portanto, a embalagem de maior capacidade apresentará volume igual a $\boxed{\frac{1000}{\pi}\text{ cm}^3.}$