ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
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Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 $m^2$, com o menor preço possível. Use 3 como valor aproximado para π. O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
A área de cobertura do sensor corresponde a um setor circular (uma "fatia de pizza"). A fórmula matemática para calcular a área ($A$) de um setor circular com ângulo $\alpha$ (em graus) e raio $\text{R}$ (em metros) é:$$A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$$O enunciado nos orienta a utilizar $3$ como valor aproximado para $\pi$. Substituindo esse valor, podemos simplificar a expressão para facilitar as contas:$$A = \frac{\alpha}{360} \cdot 3 R^2 \implies A = \frac{\alpha \cdot R^2}{120}$$2. Calculando a Área de Cobertura de cada Tipo
Vamos aplicar a fórmula simplificada para os cinco tipos de sensores disponíveis:
Tipo I: ($\alpha = 15^\circ$ e $R = 20\text{ m}$)$$A_{\text{I}} = \frac{15 \cdot 20^2}{120} = \frac{15 \cdot 400}{120} = \frac{6000}{120} = 50\text{ m}^2$$Tipo II: ($\alpha = 30^\circ$ e $R = 22\text{ m}$)$$A_{\text{II}} = \frac{30 \cdot 22^2}{120} = \frac{30 \cdot 484}{120} = \frac{484}{4} = 121\text{ m}^2$$Tipo III: ($\alpha = 40^\circ$ e $R = 12\text{ m}$)$$A_{\text{III}} = \frac{40 \cdot 12^2}{120} = \frac{40 \cdot 144}{120} = \frac{144}{3} = 48\text{ m}^2$$Tipo IV: ($\alpha = 60^\circ$ e $R = 16\text{ m}$)$$A_{\text{IV}} = \frac{60 \cdot 16^2}{120} = \frac{60 \cdot 256}{120} = \frac{256}{2} = 128\text{ m}^2$$Tipo V: ($\alpha = 90^\circ$ e $R = 10\text{ m}$)$$A_{\text{V}} = \frac{90 \cdot 10^2}{120} = \frac{90 \cdot 100}{120} = \frac{9000}{120} = 75\text{ m}^2$$3. Escolhendo a Melhor Opção
O proprietário tem duas condições para sua escolha:
1. A área de cobertura deve ser de, no mínimo, $70\text{ m}^2$.
2. O preço deve ser o menor possível. Como o preço aumenta de acordo com o tamanho da área, o sensor mais barato será aquele que tiver a menor área de cobertura desde que seja maior ou igual a $70\text{ m}^2$.
Analisando os resultados:
• Tipo I ($50\text{ m}^2$): Descartado (não atinge o mínimo de $70\text{ m}^2$).
• Tipo II ($121\text{ m}^2$): Atende ao requisito de área.
• Tipo III ($48\text{ m}^2$): Descartado (não atinge o mínimo de $70\text{ m}^2$).
• Tipo IV ($128\text{ m}^2$): Atende ao requisito de área.
• Tipo V ($75\text{ m}^2$): Atende ao requisito de área.
Dentre os sensores que atendem à proteção necessária (Tipos II, IV e V), o $\boxed{\text{Tipo V}}$ é o que possui a menor área de cobertura ($75\text{ m}^2$) e, consequentemente, é o de menor preço.