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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 169 • Estatística
A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o 'A' era substituído pelo 'D', o 'B' pelo 'E', o 'C' pelo 'F', e assim sucessivamente.
Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o 'A' foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
A $\large \frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25}$
B $\large \frac{24}{25} + \frac{23}{24} + \frac{1}{23}$
C $\large \frac{1}{25} × \frac{1}{24} × \frac{1}{23}$
D $\large \frac{24}{25} × \frac{23}{25} × \frac{1}{25}$
E $\large \frac{24}{25} × \frac{23}{24} × \frac{1}{23}$
Resolução
Para decifrar o código, é preciso descobrir para qual letra o "A" foi mapeado. Como o alfabeto possui 26 letras e o padrão de codificação exige que a letra seja substituída por outra diferente dela mesma (excluindo a correspondência de "A" com "A"), existem 25 padrões possíveis, sendo apenas 1 correto e 24 incorretos.
Como os testes ocorrem de maneira consecutiva e sem repetição (as tentativas frustradas são eliminadas), calculamos a probabilidade de o segredo ser descoberto apenas na terceira tentativa seguindo a sequência de eventos:
1. Primeira tentativa (Incorreta): Dentre as 25 opções possíveis, escolhe-se uma das 24 incorretas.$$\text{Probabilidade} = \frac{24}{25}$$2. Segunda tentativa (Incorreta): Com a primeira opção eliminada, restam 24 alternativas no total, sendo 23 delas incorretas.$$\text{Probabilidade} = \frac{23}{24}$$3. Terceira tentativa (Correta): Com as duas opções anteriores eliminadas, restam 23 alternativas, das quais apenas 1 é a correta.$$\text{Probabilidade} = \frac{1}{23}$$Como esses três eventos devem ocorrer em sequência, multiplicamos as probabilidades de cada etapa para obter a probabilidade total:$$P = \boxed{\frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}}$$
Como os testes ocorrem de maneira consecutiva e sem repetição (as tentativas frustradas são eliminadas), calculamos a probabilidade de o segredo ser descoberto apenas na terceira tentativa seguindo a sequência de eventos:
1. Primeira tentativa (Incorreta): Dentre as 25 opções possíveis, escolhe-se uma das 24 incorretas.$$\text{Probabilidade} = \frac{24}{25}$$2. Segunda tentativa (Incorreta): Com a primeira opção eliminada, restam 24 alternativas no total, sendo 23 delas incorretas.$$\text{Probabilidade} = \frac{23}{24}$$3. Terceira tentativa (Correta): Com as duas opções anteriores eliminadas, restam 23 alternativas, das quais apenas 1 é a correta.$$\text{Probabilidade} = \frac{1}{23}$$Como esses três eventos devem ocorrer em sequência, multiplicamos as probabilidades de cada etapa para obter a probabilidade total:$$P = \boxed{\frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}}$$
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