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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
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Questão 163 • Geometria
Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.
Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento. Considere 3 como valor aproximado para π.
A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é
Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento. Considere 3 como valor aproximado para π.A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é
A 54.
B 60.
C 66.
D 68.
E 72.
Resolução
Um detalhe geométrico fundamental nesse tipo de sistema de transmissão por correia aberta é a simetria dos ângulos de contato. A soma dos ângulos centrais que definem os arcos de contato nas duas polias sempre resulta em $360^circ$. Como o gráfico mostra que o ângulo de contato na polia menor é de $150^\circ$, o ângulo correspondente ao arco de contato na polia maior será de:$$360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$$Agora, calculamos o comprimento de cada arco utilizando a aproximação $\pi \approx 3$:
• Arco da polia menor ($r = 4\text{ cm}$):$$C_{\text{menor}} = \frac{150^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{5}{12} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 10\text{ cm}$$
• Arco da polia maior ($R = 8\text{ cm}$):$$C_{\text{maior}} = \frac{210^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{7}{12} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = 28\text{ cm}$$Por fim, somamos as duas partes retas de $15\text{ cm}$ aos dois arcos de contato calculados para obter o comprimento total da correia:$$L = 15 + 15 + 10 + 28 = 68\text{ cm}$$Portanto, a medida do comprimento dessa correia é $\boxed{68\text{ cm}}$.
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