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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 164 • Geometria
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_1$, $P_2$ e $P_3$, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano. 
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entreA 2 e 3.
B 4 e 5.
C 5 e 6.
D 7 e 8.
E 8 e 9.
Resolução
A disposição dos postos de saúde $P_1$, $P_2$ e $P_3$ forma um triângulo equilátero com lados medindo $L = 10\text{ km}$. Como o hospital $H$ deve ficar a uma mesma distância de todos os postos, o ponto $H$ representa o circuncentro (que também coincide com o baricentro) desse triângulo equilátero.
A distância do centro de um triângulo equilátero até qualquer um de seus vértices equivale ao raio $\text{R}$ da circunferência que o circunscreve, dado pela fórmula:$$R = \frac{L\sqrt{3}}{3}$$Substituindo o valor do lado $L = 10\text{ km}$ e utilizando a aproximação de $\sqrt{3} \approx 1,73$:$$R = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \times 1,73}{3} = \frac{17,3}{3} \approx 5,77\text{ km}$$Portanto, a distância entre o hospital e cada um dos postos de saúde é um valor entre $\boxed{\text{5 e 6 (quilômetros).}}$
A distância do centro de um triângulo equilátero até qualquer um de seus vértices equivale ao raio $\text{R}$ da circunferência que o circunscreve, dado pela fórmula:$$R = \frac{L\sqrt{3}}{3}$$Substituindo o valor do lado $L = 10\text{ km}$ e utilizando a aproximação de $\sqrt{3} \approx 1,73$:$$R = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \times 1,73}{3} = \frac{17,3}{3} \approx 5,77\text{ km}$$Portanto, a distância entre o hospital e cada um dos postos de saúde é um valor entre $\boxed{\text{5 e 6 (quilômetros).}}$
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