ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática

Como o galinheiro possui dois lados de comprimento $L$ (com tela a R\$ 20,00/m) e dois lados de comprimento $C$ (com tela a R\$ 15,00/m), o custo total da cerca é dado por:$$2 \cdot 20 \cdot L + 2 \cdot 15 \cdot C = 6000 \Rightarrow 40L + 30C = 6000$$Simplificando a equação dividindo todos os termos por 10:$$4L + 3C = 600 \Rightarrow C = 200 - \frac{4}{3}L$$2. Otimização da Área:

A área $A$ do galinheiro é dada pelo produto dos seus lados ($A = L \cdot C$). Substituindo a relação de $C$ obtida acima, temos uma função quadrática:$$A(L) = L \cdot \left(200 - \frac{4}{3}L\right) = 200L - \frac{4}{3}L^2$$O valor de $L$ que maximiza essa área corresponde ao vértice da parábola:$$L = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{200}{\frac{8}{3}} = 75\text{ metros}$$Determinando o outro lado ($C$):Substituindo $L = 75$ na relação de $C$:$$C = 200 - \frac{4}{3}(75) = 200 - 100 = 100\text{ metros}$$Os lados do galinheiro que garantem a maior área possível dentro do orçamento são de $75\text{ m}$ e $100\text{ m}$, sendo o maior deles igual a $\boxed{\text{100 metros.}}$