ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática

Como o perímetro do triângulo equilátero é $k$, cada lado mede $\frac{k}{3}$. A sua área é dada por:$$A_{ ext{triângulo}} = \frac{\left(\frac{k}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{36} \approx 0,048 k^2$$Para o quadrado, o perímetro $k$ implica lados de $\frac{k}{4}$. A sua área é:$$A_{\text{quadrado}} = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} = 0,0625 k^2$$No caso do hexágono regular, o perímetro $k$ dividido por 6 lados resulta em um comprimento lateral de $\frac{k}{6}$. Como um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, sua área é calculada por:$$A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \frac{\left(\frac{k}{6}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{k^2 \sqrt{3}}{144} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{24} \approx 0,072 k^2$$Geometricamente, para um mesmo perímetro, quanto mais lados tem o polígono regular (mais próximo de um círculo ele se torna), maior será a sua área. Assim, o hexágono regular é a melhor opção, pois possui a maior área, que corresponde a $\boxed{\frac{k^2 \sqrt{3}}{24}}$.