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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática

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Questão 150 • Geometria
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm. Imagem de apoio da questão Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas. Imagem de apoio da questão A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.

A compra será realizada na loja
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Resolução
Para que a divisão aconteça, dispomos de $n$ colunas de diâmetro $d$ ao longo da largura de $300\text{ cm}$ ($3\text{ m}$), o que gera exatamente $n + 1$ vãos. Como o tamanho de cada vão não pode ultrapassar $15\text{ cm}$, estabelecemos a seguinte relação matemática:$$\frac{300 - n \cdot d}{n + 1} \le 15 \Rightarrow 300 - n \cdot d \le 15n + 15 \Rightarrow n \ge \frac{285}{15 + d}$$Sabendo que o diâmetro de cada coluna é o dobro do seu raio ($d = 2R\$ ), calculamos o número mínimo necessário de colunas (arredondando para o próximo inteiro) e o custo total para cada loja:

• Loja I: Raio $5\text{ cm}$ ($d = 10\text{ cm}$) $\Rightarrow n \ge \frac{285}{25} = 11,4 \Rightarrow 12$ colunas. Custo: $12 \times R\$ 60,00 = R\$ 720,00$.

• Loja II: Raio $10\text{ cm}$ ($d = 20\text{ cm}$) $\Rightarrow n \ge \frac{285}{35} \approx 8,14 \Rightarrow 9$ colunas. Custo: $9 \times R\$ 70,00 = R\$ 630,00$.

• Loja III: Raio $12\text{ cm}$ ($d = 24\text{ cm}$) $\Rightarrow n \ge \frac{285}{39} \approx 7,30 \Rightarrow 8$ colunas. Custo: $8 \times R\$ 75,00 = R\$ 600,00$.

• Loja IV: Raio $15\text{ cm}$ ($d = 30\text{ cm}$) $\Rightarrow n \ge \frac{285}{45} \approx 6,33 \Rightarrow 7$ colunas. Custo: $7 \times R\$ 90,00 = R\$ 630,00$.

• Loja V: Raio $20\text{ cm}$ ($d = 40\text{ cm}$) $\Rightarrow n \ge \frac{285}{55} \approx 5,18 \Rightarrow 6$ colunas. Custo: $6 \times R\$ 120,00 = R\$ 720,00$.

Comparando os orçamentos obtidos, a $\boxed{\text{loja III}}$ apresenta o menor custo de compra.

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