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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 148 • Álgebra
Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função T(t) = a + 80 $b^t$, representada no gráfico a seguir. 
Os valores das constantes a e b são
Os valores das constantes a e b sãoA $a = 20;\; b = \log(0,5)$
B $a = 100;\; b = 0,5$
C $a = 20;\; b = (0,5)^{\large \frac{1}{10}}$
D $a = 20;\; b = \large \frac{(40)^{ \frac{1}{10}}}{80}$
E $a = 20;\; b = 40$
Resolução
Para determinarmos os valores das constantes $a$ e $b$, analisamos o comportamento do gráfico a partir de pontos específicos. Começamos com o instante inicial, no qual o tempo é zero ($t = 0$) e a temperatura registrada é de $100\text{ °C}$. Substituindo esse par ordenado $(0, 100)$ na lei da função $T(t) = a + 80 b^t$, temos:$$100 = a + 80 \cdot b^0$$Como qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1, a equação se simplifica para $100 = a + 80$, o que nos dá diretamente o valor de $\boxed{a = 20}$.
Agora, sabendo que $a = 20$, escolhemos outro ponto bem definido no gráfico para encontrar o valor de $b$. Observando o instante $t = 10$ minutos, a temperatura correspondente é de $60\text{ °C}$. Substituindo esse ponto $(10, 60)$ na função atualizada, obtemos:$$60 = 20 + 80 \cdot b^{10}$$$$40 = 80 \cdot b^{10}$$$$b^{10} = \frac{40}{80} = 0,5$$Para isolar a constante $b$, elevamos ambos os lados da igualdade ao expoente $\large \frac{1}{10}$, o que resulta em:$$\boxed{b = (0,5)^{\large \frac{1}{10}}}$$ A alternativa correta é a C ($a = 20$; $b = (0,5)^{\large \frac{1}{10}}$).
Agora, sabendo que $a = 20$, escolhemos outro ponto bem definido no gráfico para encontrar o valor de $b$. Observando o instante $t = 10$ minutos, a temperatura correspondente é de $60\text{ °C}$. Substituindo esse ponto $(10, 60)$ na função atualizada, obtemos:$$60 = 20 + 80 \cdot b^{10}$$$$40 = 80 \cdot b^{10}$$$$b^{10} = \frac{40}{80} = 0,5$$Para isolar a constante $b$, elevamos ambos os lados da igualdade ao expoente $\large \frac{1}{10}$, o que resulta em:$$\boxed{b = (0,5)^{\large \frac{1}{10}}}$$ A alternativa correta é a C ($a = 20$; $b = (0,5)^{\large \frac{1}{10}}$).
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