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ENEM 2024 | Caderno Azul - Matemática
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Questão 142 • Álgebra
Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas: 
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
A $3 × 2^{19}$
B $3 × 2^{20}$
C $3 × 2^{21}$
D $3 × 2^{20} − 1$
E $3 × 2^{20} − 3$
Resolução
Para compreendermos esse resultado, basta notar que a quantidade de figuras no visor do aplicativo dobra a cada nova etapa concluída:
• Na 1ª etapa, temos inicialmente 3 figuras.
• Na 2ª etapa, ao copiar e colar o conteúdo anterior, a quantidade dobra, totalizando $3 \times 2 = 6$ figuras.
• Na 3ª etapa, o processo se repete com o que estava na tela, resultando em $6 \times 2 = 12$ figuras.
Esse padrão de duplicação constante caracteriza uma Progressão Geométrica (PG) em que o primeiro termo ($a_1$) é igual a 3 e a razão ($q$) é igual a 2. Para determinar o número de figuras em qualquer etapa $n$, utilizamos a fórmula do termo geral da PG:$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$Substituindo os dados para calcular o total de figuras ao final da 20ª etapa ($n = 20$), temos:$$a_{20} = \boxed{3 \cdot 2^{19}}$$
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