ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
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A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.Considere 3,1 como valor aproximado para π.
Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?
1. Unidades de Medida
As dimensões da medalha são:
• Diâmetro ($d$) = $6\text{ cm}$, logo o raio ($r$) = $3\text{ cm}$.
• Espessura (altura $h$) = $3\text{ mm} = 0,3\text{ cm}$.
2. Volume Total da Medalha (Cilindro)
O volume total de cada medalha cilíndrica é dado por:$$V_{\text{total}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$$$$V_{\text{total}} = 3,1 \cdot 3^2 \cdot 0,3 = 3,1 \cdot 9 \cdot 0,3 = 8,37 ext{ cm}^3$$
3. Volume do Prisma Interno (Base Quadrada)
A diagonal do quadrado $ABCD$ é igual ao diâmetro do cilindro ($D_{\text{quadrado}} = 6\text{ cm}$). A área de um quadrado a partir de sua diagonal ($d_q$) é:$$A_{\text{quadrado}} = \frac{d_q^2}{2} = \frac{6^2}{2} = 18\text{ cm}^2$$O volume desse prisma interno, que atravessa toda a medalha, é:$$V_{\text{prisma}} = A_{\text{quadrado}} \cdot h = 18 \cdot 0,3 = 5,4\text{ cm}^3$$
4. Volume de Ouro por Medalha e Total
O volume de ouro por medalha corresponde à região externa ao prisma:$$V_{\text{ouro}} = V_{\text{total}} - V_{\text{prisma}} = 8,37 - 5,4 = 2,97\text{ cm}^3$$Para confeccionar 100 medalhas:$$V_{\text{total de ouro}} = 100 \cdot 2,97 = \boxed{297 \text{ cm}^3}$$