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ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 144 • Geometria
Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas. Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas. Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
A 9
B 8
C 6
D 4
E 3
Resolução
Para determinar a quantidade de cores utilizadas na pintura do protótipo, precisamos analisar a estrutura das faces externas do poliedro resultante da justaposição dos dois sólidos. O prisma hexagonal regular reto possui originalmente duas bases hexagonais e seis faces laterais retangulares congruentes. Por sua vez, o tronco de pirâmide hexagonal reta é formado por uma base maior, uma base menor (ambas hexagonais, porém com dimensões diferentes) e seis faces laterais na forma de trapézios isósceles congruentes. Como o enunciado estabelece que a base maior do tronco coincide exatamente com uma das bases do prisma, essas duas faces hexagonais se sobrepõem e passam a compor o interior do sólido composto, deixando de fazer parte da superfície externa que será pintada.
Ao mapearmos a superfície externa do protótipo final, identificamos quatro grupos distintos de polígonos: a base inferior livre do prisma (um hexágono regular maior), a base superior livre do tronco de pirâmide (um hexágono regular menor), as seis faces laterais do prisma (retângulos) e as seis faces laterais do tronco (trapézios isósceles). Como o critério de pintura dita que faces congruentes compartilham a mesma cor e faces não congruentes exigem pigmentações distintas, cada um desses quatro conjuntos de formas geométricas independentes demandará um tom exclusivo. A partir dessa separação geométrica, concluímos que serão utilizadas exatamente $\boxed{\text{4 cores}}$ para realizar a pintura de toda a superfície do protótipo.
Ao mapearmos a superfície externa do protótipo final, identificamos quatro grupos distintos de polígonos: a base inferior livre do prisma (um hexágono regular maior), a base superior livre do tronco de pirâmide (um hexágono regular menor), as seis faces laterais do prisma (retângulos) e as seis faces laterais do tronco (trapézios isósceles). Como o critério de pintura dita que faces congruentes compartilham a mesma cor e faces não congruentes exigem pigmentações distintas, cada um desses quatro conjuntos de formas geométricas independentes demandará um tom exclusivo. A partir dessa separação geométrica, concluímos que serão utilizadas exatamente $\boxed{\text{4 cores}}$ para realizar a pintura de toda a superfície do protótipo.
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