ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
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Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Sabendo que S(6 ; 2) e V(8 ; 6), qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?• A: $2 = -3(6) + 20 \implies 2 = 2$ (Verdadeiro)
• B: $2 = -3(6) + 16 \implies 2 = -2$ (Falso)
• C: $2 = -3(6) - 20 \implies 2 = -38$ (Falso)
• D: $2 = 3(6) + 16 \implies 2 = 34$ (Falso)
• E: $2 = 3(6) - 16 \implies 2 = 2$ (Verdadeiro)
Ficamos restritos às alternativas A e E. Para decidir entre as duas, analisamos as coordenadas dos vilões $T$ e $V$.
Obs.: Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ e o conceito de vetor, que ilustra essa distância pela diferença das coordenadas por $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Como $STUV$ é um quadrado de lado $SV = \sqrt{(8-6)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{20}$ e o vetor $\vec{SV} = (8 - 6 ; 6 - 2) = (2, 4)$, o vértice $T$ é obtido rotacionando o vetor e partindo de $S$, resultando em $T(2, 4)$. O coeficiente angular da reta que passa por $T(2, 4)$ e $V(8, 6)$ é:$$m_{TV} = \frac{6 - 4}{8 - 2} = \frac{1}{3}$$Sendo a trajetória perpendicular ao segmento $TV$, seu coeficiente angular $m$ deve ser o oposto do inverso de $m_{TV}$:$$m = -\frac{1}{m_{TV}} = -3$$Como a reta possui declividade negativa $(m = -3)$, a equação correta é a da $\boxed{\text{alternativa A}}$.