ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
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sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é:1. Identificação de $k$ e $m$ (Ponto de Inflexão)
O gráfico exibe o ponto central da curva (onde ocorre a mudança de concavidade da tangente) nas coordenadas $T = 2,5$ e $D = 30$. O deslocamento vertical da função nos dá diretamente $k = 30$. Nesse ponto central, o argumento da função tangente deve ser igual a zero. Portanto:$$p(2,5 + m) = 0 \implies \mathbf{m = -2,5}$$ 2. Identificação de $p$ (Período da Função)
As assíntotas verticais da função delimitam um período completo e estão localizadas em:
• $T_1 = \frac{5 - 2\pi}{2} = 2,5 - \pi$
• $T_2 = \frac{5 + 2\pi}{2} = 2,5 + \pi$
A distância entre essas assíntotas nos dá o período ($P$) da função:$$P = (2,5 + \pi) - (2,5 - \pi) = 2\pi$$Sabemos que o período de uma função tangente $y = \text{tg}(px)$ é definido como $\frac{\pi}{\vert{}p\vert{}}$. Igualando os valores:$$\frac{\pi}{p} = 2\pi \implies \mathbf{p = \frac{1}{2}}$$ 3. Expressão Final
Substituindo os parâmetros $k$, $p$ e $m$ encontrados na estrutura da função original, obtemos a expressão algébrica que relaciona $D$ e $T$:$$\boxed{D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}(T - 2,5)\right]}$$