ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
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O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.
A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,
1. Análise dos trajetos
Rota Planejada (para chegar em R):
• $\vec{PQ}$: 4 horas na direção $110^\circ$.
• $\vec{QR}$: 2 horas na direção $90^\circ$.
Rota Executada (chegou em T):
• $\vec{PS}$: 4 horas na direção $340^\circ$.
• $\vec{ST}$: 2 horas na direção $90^\circ$.
Notamos que a segunda etapa de ambas as rotas é idêntica (2 horas na direção $90^\circ$). Logo, os vetores $\vec{QR}$ e $\vec{ST}$ são iguais.
2. O vetor resultante $\vec{TR}$
Queremos ir de T para R, então o vetor procurado é $\vec{TR} = R - T$. Pela soma de vetores, temos:
• $R = P + \vec{PQ} + \vec{QR}$
• $T = P + \vec{PS} + \vec{ST}$
Subtraindo as equações:$$\vec{TR} = (P + \vec{PQ} + \vec{QR}) - (P + \vec{PS} + \vec{ST})$$Como $\vec{QR} = \vec{ST}$, eles se cancelam:$$\vec{TR} = \vec{PQ} - \vec{PS}$$Isso é o mesmo que somar o vetor $\vec{PQ}$ com o vetor oposto a $\vec{PS}$ ($-\vec{PS}$).
3. Calculando a Direção
• O vetor $\vec{PQ}$ tem direção $110^\circ$ e módulo 4.
• O vetor $\vec{PS}$ tem direção $340^\circ$. O vetor oposto $-\vec{PS}$ tem a mesma direção invertida em $180^\circ$, ou seja, $340^\circ - 180^\circ = 160^\circ$. Seu módulo também é 4.
Como estamos somando dois vetores ($\vec{PQ}$ e $-\vec{PS}$) de mesmo módulo (4 horas), o vetor resultante bissecta (divide ao meio) o ângulo entre eles. A nova direção será a média aritmética das direções:$$\text{Direção} = \frac{110^\circ + 160^\circ}{2} = \frac{270^\circ}{2} = \mathbf{135^\circ}$$ 4. Calculando o Tempo (Módulo do vetor)
Podemos usar a Lei dos Cossenos para descobrir o tamanho do vetor $\vec{TR} = \vec{PQ} - \vec{PS}$. O ângulo entre $\vec{PQ}$ ($110^\circ$) e $\vec{PS}$ ($340^\circ$) é a menor diferença entre eles: $360^\circ - (340^\circ - 110^\circ) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$.Aplicando a Lei dos Cossenos:$$\vert{}\vec{TR}\vert{}^2 = \vert{}\vec{PQ}\vert{}^2 + \vert{}\vec{PS}\vert{}^2 - 2 \cdot \vert{}\vec{PQ}\vert{} \cdot \vert{}\vec{PS}\vert{} \cdot \cos(130^\circ)$$O enunciado pede para considerar $\cos(50^\circ) \approx 0,64$. Sabemos que $\cos(130^\circ) = -\cos(50^\circ)$, logo $\cos(130^\circ) \approx -0,64$.$$\vert{}\vec{TR}\vert{}^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-0,64)$$$$\vert{}\vec{TR}\vert{}^2 = 16 + 16 + 32 \cdot 0,64$$$$\vert{}\vec{TR}\vert{}^2 = 32 + 20,48$$$$\vert{}\vec{TR}\vert{}^2 = 52,48$$$$\vert{}\vec{TR}\vert{} = \sqrt{52,48}$$Sabemos que $7^2 = 49$ e $8^2 = 64$, então a raiz está entre 7 e 8. Se testarmos a alternativa que sugere 7 horas e 15 minutos (que é equivalente a $7,25$ horas), temos:$$7,25^2 = 52,5625$$Como o valor $52,5625$ é extremamente próximo de $52,48$, o tempo de navegação é de aproximadamente $\boxed{\text{7 horas e 15 minutos}}$. Portanto, a alternativa correta é a $\boxed{\text{A}}$.