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ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 173 • Geometria
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura. 
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
A o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
B o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
C o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
D o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
E qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Resolução
Para definir o projeto aprovado, precisamos calcular a área da seção transversal de cada um, que corresponde à área de semicírculos dada pela fórmula $\frac{\pi \cdot r^2}{2}$, adotando a aproximação de $\pi$ como 3.
No Projeto 1, temos dois túneis separados. O túnel para automóveis tem diâmetro de 12 m (logo, raio de 6 m) e o túnel para bicicletas tem diâmetro de 6 m (raio de 3 m). A área total da seção transversal desse projeto é a soma das áreas dos dois semicírculos:$$\frac{3 \cdot 6^2}{2} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} = \frac{3 \cdot 36}{2} + \frac{3 \cdot 9}{2} = 54 + 13,5 = 67,5$$Portanto, a área total do Projeto 1 é de 67,5 m².No Projeto 2, há um único túnel de uso misto com diâmetro total de 18 m (obtido somando as divisões da base: 3 + 6 + 6 + 3), o que nos dá um raio de 9 m. A área da seção desse semicírculo único é calculada por:$$\frac{3 \cdot 9^2}{2} = \frac{3 \cdot 81}{2} = \frac{243}{2} = 121,5$$A área total do Projeto 2 é de 121,5 m². Como a regra estabelece que o projeto a ser aprovado será aquele com a menor área da seção transversal, o $\boxed{\text{Projeto 1}}$ será escolhido por apresentar uma medida de $\text{67,5 m²}$. $\boxed{\text{Alternativa A}}$.
No Projeto 1, temos dois túneis separados. O túnel para automóveis tem diâmetro de 12 m (logo, raio de 6 m) e o túnel para bicicletas tem diâmetro de 6 m (raio de 3 m). A área total da seção transversal desse projeto é a soma das áreas dos dois semicírculos:$$\frac{3 \cdot 6^2}{2} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} = \frac{3 \cdot 36}{2} + \frac{3 \cdot 9}{2} = 54 + 13,5 = 67,5$$Portanto, a área total do Projeto 1 é de 67,5 m².No Projeto 2, há um único túnel de uso misto com diâmetro total de 18 m (obtido somando as divisões da base: 3 + 6 + 6 + 3), o que nos dá um raio de 9 m. A área da seção desse semicírculo único é calculada por:$$\frac{3 \cdot 9^2}{2} = \frac{3 \cdot 81}{2} = \frac{243}{2} = 121,5$$A área total do Projeto 2 é de 121,5 m². Como a regra estabelece que o projeto a ser aprovado será aquele com a menor área da seção transversal, o $\boxed{\text{Projeto 1}}$ será escolhido por apresentar uma medida de $\text{67,5 m²}$. $\boxed{\text{Alternativa A}}$.
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