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ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 172 • Álgebra
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
P = 4 · log[-K · (t + 1) · (t - 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
A $10^{0,5}$
B $10^{8}$
C $\frac{10^2,5}{84}$
D $\frac{10^2,5}{99}$
E $25 × 10^{-2}$
Resolução
Para encontrar o valor de $K$, precisamos primeiro identificar quando a máquina atinge a sua pressão máxima. A pressão $P$ será máxima quando o valor dentro do logaritmo for o maior possível. A expressão dentro do logaritmo forma uma equação do segundo grau com concavidade para baixo:$$-K(t+1)(t-19) = -Kt^2 + 18Kt + 19K$$O tempo em que ocorre a pressão máxima é o vértice da parábola:$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-18K}{2(-K)} = 9 \text{ horas}$$Como a máquina funcionará continuamente por 10 horas, ela inevitavelmente passará pela marca de 9 horas, atingindo o pico de pressão. Substituindo $t = 9$ na equação original para encontrar esse valor máximo:$$-K \cdot (9 + 1) \cdot (9 - 19) = -K \cdot (10) \cdot (-10) = 100K$$Agora, aplicamos a restrição do fabricante de que a pressão máxima não deve ultrapassar 10 atmosferas:$$4 \cdot \log(100K) \le 10$$$$\log(100K) \le 2,5$$Aplicando a definição de logaritmo na base 10:$$100K \le 10^{2,5}$$$$100K \le 10^2 \cdot 10^{0,5}$$$$100K \le 100 \cdot \sqrt{10}$$$$K \le \sqrt{10}$$$$\boxed{K \le 10^{\large{0,5}}}$$ $\boxed{\text{Alternativa A.}}$
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