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ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática

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Questão 155 • Combinatória
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.

Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
A 10 x 9 x 8
B 20 x 18 x 16
C 20 x 19 x 18
D 10 x 9 x 8 x 2
E 20 x 18 x 16 x 2
Resolução
Calculemos as possibilidades para cada cargo sequencialmente, garantindo a restrição de que membros de um mesmo casal não participem da mesma diretoria:

• Presidente: Qualquer uma das 20 pessoas (10 casais) pode ser escolhida. Logo, há 20 opções.

• Secretário: Como a pessoa escolhida para presidente e o seu cônjuge não podem ocupar esse cargo, restam 18 pessoas disponíveis. Logo, há 18 opções.

• Tesoureiro: Excluindo as duas pessoas já escolhidas e seus respectivos cônjuges, restam 16 pessoas disponíveis. Logo, há 16 opções.

Multiplicando as possibilidades de cada etapa pelo princípio fundamental da contagem, obtemos o total de arranjos possíveis: $$Total = \boxed{20 \cdot 18 \cdot 16}$$

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