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ENEM 2025 | Caderno Azul - Matemática
MateBásica
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Questão 149 • Geometria
A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?A 21
B 25
C 55
D 80
E 110
Resolução
Uma abordagem direta é utilizar a Relação de Euler ($V - A + F = 2$). Para isso, contabilizamos as faces e as arestas do poliedro a partir dos polígonos que o compõem:
• Cálculo das Faces ($F$): Somamos a quantidade de todas as formas geométricas individuais (25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono).$$F = 25 + 5 + 1 + 1 = 32$$ • Cálculo das Arestas ($A$): Multiplicamos a quantidade de cada tipo de polígono pelo seu respectivo número de lados. Como cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces, dividimos o resultado total por 2.$$A = \frac{25 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 10}{2} = \frac{75 + 20 + 5 + 10}{2} = \frac{110}{2} = 55$$ • Cálculo dos Vértices ($V$): Substituímos os valores encontrados de $F$ e $A$ na Relação de Euler para isolar e encontrar $V$.$$V - A + F = 2$$$$V - 55 + 32 = 2$$$$V - 23 = 2$$$$V = \boxed{25}$$Portanto, por esse método combinatório, confirmamos novamente que o poliedro possui $\boxed{\text{25 vértices.}}$
• Cálculo das Faces ($F$): Somamos a quantidade de todas as formas geométricas individuais (25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono).$$F = 25 + 5 + 1 + 1 = 32$$ • Cálculo das Arestas ($A$): Multiplicamos a quantidade de cada tipo de polígono pelo seu respectivo número de lados. Como cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces, dividimos o resultado total por 2.$$A = \frac{25 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 10}{2} = \frac{75 + 20 + 5 + 10}{2} = \frac{110}{2} = 55$$ • Cálculo dos Vértices ($V$): Substituímos os valores encontrados de $F$ e $A$ na Relação de Euler para isolar e encontrar $V$.$$V - A + F = 2$$$$V - 55 + 32 = 2$$$$V - 23 = 2$$$$V = \boxed{25}$$Portanto, por esse método combinatório, confirmamos novamente que o poliedro possui $\boxed{\text{25 vértices.}}$
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