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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 9 • Geometria
Na figura, temos um quadrado de vértices A, B, C e D e um hexágono regular com lado OC, sendo O centro do quadrado. Qual é o valor de α na figura? 
A 105°
B 110°
C 115°
D 120°
E 125°
Resolução
Como $O$ é o centro do quadrado $ABCD$, as diagonais são perpendiculares e bissecam os ângulos das extremidades. Dessa forma, o ângulo entre as semi-diagonais é $\angle COD = 90°$ e o ângulo entre a semi-diagonal e o lado do quadrado é $\angle ODA = 45°$. Sendo o hexágono regular, todos os seus ângulos internos medem $120°$, logo, o ângulo entre os dois lados do hexágono no vértice $O$ é $\angle COE = 120°$.
Podemos determinar o ângulo entre o lado do hexágono $OE$ e a semi-diagonal $OD$ por meio da subtração: $\angle DOE = \angle COE - \angle COD = 120° - 90° = 30°$. Definindo $I$ como o ponto de intersecção entre o segmento $OE$ e o lado $AD$, analisamos o triângulo formado pelos pontos $O$, $D$ e $I$.
No triângulo $\triangle ODI$, a soma dos ângulos internos é igual a $180°$. Como já encontramos os ângulos internos $\angle DOI = 30°$ e $\angle ODI = 45°$, o ângulo α equivale ao ângulo restante $\angle OID$. Portanto, calculamos $α = 180° - (30° + 45°) = \boxed{105°}.$
Podemos determinar o ângulo entre o lado do hexágono $OE$ e a semi-diagonal $OD$ por meio da subtração: $\angle DOE = \angle COE - \angle COD = 120° - 90° = 30°$. Definindo $I$ como o ponto de intersecção entre o segmento $OE$ e o lado $AD$, analisamos o triângulo formado pelos pontos $O$, $D$ e $I$.
No triângulo $\triangle ODI$, a soma dos ângulos internos é igual a $180°$. Como já encontramos os ângulos internos $\angle DOI = 30°$ e $\angle ODI = 45°$, o ângulo α equivale ao ângulo restante $\angle OID$. Portanto, calculamos $α = 180° - (30° + 45°) = \boxed{105°}.$
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