CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)

Seja $T$ o tempo total do passeio e $D$ a distância total percorrida. No primeiro trecho, Magali andou por metade do tempo, ou seja, $\large \frac{T}{2}$, com velocidade de 2 km/h. A distância percorrida nessa primeira etapa é dada pelo produto do tempo pela velocidade, resultando em $D_1 = 2 \cdot \large \frac{T}{2}$ $= T$. O enunciado indica que ela percorreu metade de toda a distância, isto é, $\large \frac{D}{2}$, a uma velocidade de 3 km/h. O tempo gasto nessa segunda etapa foi de $t_2 = \large \frac{\frac{D}{2}}{3} = \frac{D}{6}$. Como a primeira metade do tempo total já havia sido usada na primeira etapa, o tempo restante para o passeio é de $\large \frac{T}{2}$, o que nos permite expressar o tempo do terceiro trecho (a 4 km/h) como $t_3 = \large \frac{T}{2} - \frac{D}{6}$.

A distância percorrida no terceiro trecho é calculada multiplicando a velocidade de 4 km/h por esse tempo restante, gerando a expressão $D_3 = 4 \cdot \left(\large \frac{T}{2} - \frac{D}{6}\right)$ = $2T - \large \frac{2D}{3}$. Somando as distâncias das três etapas para obter a distância total, montamos a igualdade $D = T + \large \frac{D}{2}$ $+ 2T - \large \frac{2D}{3}$. Isolando e simplificando os termos com $D$ e $T$, encontramos a equação $\large \frac{7D}{6}$ $= 3T$, o que nos dá a relação $D = \large \frac{18}{7}T$.

Substituindo essa relação encontrada na fórmula do tempo do terceiro trecho, obtemos $t_3 = \large \frac{T}{2} - \frac{18T}{42}$, que se simplifica ao dividir por 6 para $t_3 = \large \frac{T}{2} - \frac{3T}{7}$. Realizando o mínimo múltiplo comum para subtrair as frações, encontramos $t_3 = \large \frac{7T - 6T}{14} = \frac{1}{14}T$. Portanto, a fração do tempo total de passeio em que ela andou à velocidade de 4 km/h é de $\boxed{\frac{1}{14}}$.