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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 12 • Combinatória
Helena preenche todas as casas do tabuleiro 2 x 4 com as letras A, B, C e D, de modo que cada casa contenha apenas uma letra e, em cada linha e cada quadrado 2 x 2 do tabuleiro, as quatro letras apareçam exatamente uma vez cada. De quantas maneiras Helena pode preencher o tabuleiro? 
A 12
B 24
C 48
D 96
E 198
Resolução
Para resolver este problema, começamos analisando as possibilidades de preenchimento para a primeira linha do tabuleiro. Como ela possui quatro casas e deve conter todas as quatro letras sem nenhuma repetição, o número total de maneiras de organizá-las é dado simplesmente pela permutação de 4 elementos, o que resulta em $4! = 24$ combinações diferentes.
Fixada uma ordem qualquer para as letras da primeira linha, as posições da segunda linha ficam completamente condicionadas pelas regras dos quadrados $2$ ✕ $2$. O primeiro quadrado da esquerda exige que as duas primeiras casas da segunda linha usem as duas letras restantes da primeira linha. O segundo quadrado (central) faz uma exigência semelhante para as suas casas inferiores. Cruzando essas condições geométricas, descobrimos que a interseção lógica força cada casa da segunda linha a ter uma única opção de letra válida.
Como cada configuração escolhida para a primeira linha determina de forma única e obrigatória a sequência inteira da segunda linha, não existem novos caminhos ou escolhas a serem feitas. Portanto, o número total de maneiras distintas que Helena tem para preencher todo o tabuleiro é exatamente igual a $\boxed{24}$.
Fixada uma ordem qualquer para as letras da primeira linha, as posições da segunda linha ficam completamente condicionadas pelas regras dos quadrados $2$ ✕ $2$. O primeiro quadrado da esquerda exige que as duas primeiras casas da segunda linha usem as duas letras restantes da primeira linha. O segundo quadrado (central) faz uma exigência semelhante para as suas casas inferiores. Cruzando essas condições geométricas, descobrimos que a interseção lógica força cada casa da segunda linha a ter uma única opção de letra válida.
Como cada configuração escolhida para a primeira linha determina de forma única e obrigatória a sequência inteira da segunda linha, não existem novos caminhos ou escolhas a serem feitas. Portanto, o número total de maneiras distintas que Helena tem para preencher todo o tabuleiro é exatamente igual a $\boxed{24}$.
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