Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 21 • Aritmética
Um número n! = 1 · 2 · 3 · ... · n foi escrito como o produto dos seus fatores primos e ficou da seguinte forma, na qual os fatores estão em ordem crescente e com os seus respectivos expoentes: 
Alguns dos fatores primos e expoentes do número na nova forma foram borrados acidentalmente. Qual é o expoente do fator 17?
Alguns dos fatores primos e expoentes do número na nova forma foram borrados acidentalmente. Qual é o expoente do fator 17?A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
Resolução
Para determinar o expoente do fator 17, precisamos primeiro descobrir os possíveis valores para o número $n$ a partir do expoente do fator 13, que é fornecido como 4 na questão original. Os fatores 13 em um fatorial surgem nos seus múltiplos, que são 13, 26, 39 e 52. Como existem exatamente quatro desses fatores, o número $n$ deve ser maior ou igual a 52 e estritamente menor do que 65, que seria o próximo múltiplo de 13.
Sabendo que $52 \le n < 65$, podemos listar todos os múltiplos de 17 que entram na composição desse fatorial dentro desse intervalo. Os únicos múltiplos de 17 menores do que 65 são 17, 34 e 51. Como nenhum desses números é múltiplo de $17^2$, cada um deles contribui com exatamente um fator primo 17 para o produto.
Somando as contribuições de cada um desses três múltiplos, concluímos que o fator primo 17 aparece exatamente três vezes na decomposição de $n!$. Portanto, o expoente do fator 17 é igual a $\boxed{3}$.
Sabendo que $52 \le n < 65$, podemos listar todos os múltiplos de 17 que entram na composição desse fatorial dentro desse intervalo. Os únicos múltiplos de 17 menores do que 65 são 17, 34 e 51. Como nenhum desses números é múltiplo de $17^2$, cada um deles contribui com exatamente um fator primo 17 para o produto.
Somando as contribuições de cada um desses três múltiplos, concluímos que o fator primo 17 aparece exatamente três vezes na decomposição de $n!$. Portanto, o expoente do fator 17 é igual a $\boxed{3}$.
MateBásica