CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)

Para calcular a área do triângulo $OPQ$ com vértices $O(0,0)$, $P(m,n)$ e $Q(n,m)$, podemos utilizar a fórmula da área por determinantes em coordenadas cartesianas:$$\text{Área} = \frac{1}{2} \vert{}x_P y_Q - x_Q y_P\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}m \cdot m - n \cdot n\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}m^2 - n^2\vert{}$$Como o enunciado define que $0 < m < n$, sabemos que $n^2 > m^2$. Portanto, removemos o valor absoluto invertendo a ordem dos termos e igualamos a expressão ao valor da área fornecido:$$\frac{n^2 - m^2}{2} = 2024 \implies n^2 - m^2 = 4048$$Fatorando a diferença de quadrados, transformamos a equação no produto da diferença pela soma de seus termos, obtendo $(n - m)(n + m) = 4048$. Para que $m$ e $n$ sejam inteiros, os dois fatores do produto devem possuir a mesma paridade e, como 4048 é par, ambos são obrigatoriamente pares. Substituindo-os por $n - m = 2k_1$ e $n + m = 2k_2$, dividimos a igualdade por 4:$$(2k_1)(2k_2) = 4048 \implies 4k_1 k_2 = 4048 \implies k_1 k_2 = 1012$$O problema agora consiste em encontrar quantos pares de inteiros positivos $(k_1, k_2)$ existem tais que $k_1 < k_2$ e o produto seja 1012. Fatorando o número 1012 em seus números primos, encontramos $1012 = 2^2 \cdot 11 \cdot 23$, o que nos permite calcular a sua quantidade total de divisores somando 1 a cada expoente e multiplicando-os:$$\text{Total de divisores} = (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \text{ divisores}$$Como 1012 não é um quadrado perfeito, esses 12 divisores se organizam em pares de multiplicação distintos. Dividindo o total de divisores por 2, concluímos que existem exatamente $\boxed{\text{6 pares}}$ $(m, n)$ que satisfazem todas as condições geométricas do problema.