Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 13 • Geometria
Sônia tem três cartões circulares de cores diferentes. Primeiro, ela empilha os cartões como na Figura 1. Em seguida, ela reorganiza os cartões de modo que os três círculos sejam tangentes dois a dois, como na Figura 2. Na Figura 1, a área da região preta visível é 7 vezes a área do círculo branco. Qual é a razão entre as áreas das regiões pretas visíveis na Figura 1 e na Figura 2? 
A 3 : 1
B 4 : 3
C 6 : 5
D 7 : 6
E 9 : 7
Resolução
Na Figura 2, os três círculos são tangentes dois a dois, com os cartões branco e cinza dispostos inteiramente dentro do círculo maior preto. Como eles se tocam e tangenciam a borda externa, a soma dos diâmetros dos dois círculos menores é exatamente igual ao diâmetro do círculo maior, estabelecendo a relação entre seus raios dada por $R = r_w + r_g$, onde ${R}$ é o raio do círculo preto, $r_g$ o do cinza e $r_w$ o do branco.
A partir da Figura 1, onde os círculos estão empilhados de forma concêntrica, o enunciado informa que a área preta visível é 7 vezes a área do círculo branco, gerando a equação algébrica $\pi R^2 - \pi r_g^2 = 7\pi r_w^2$. Substituindo ${R}$ por $r_w + r_g$ e eliminando o fator comum $pi$, obtemos $(r_w + r_g)^2 - r_g^2 = 7r_w^2$, que se desenvolve em $r_w^2 + 2r_w r_g = 7r_w^2$. Ao simplificarmos a expressão para $2r_w r_g = 6r_w^2$, descobrimos que o raio cinza vale $r_g = 3r_w$, o que consequentemente determina que o raio maior mede $R = 4r_w$.
Para calcular a área preta visível na Figura 2, subtraímos as áreas dos círculos cinza e branco da área total do círculo preto, resultando na expressão $\pi (4r_w)^2 - (\pi (3r_w)^2 + \pi r_w^2)$, que se simplifica para $16\pi r_w^2 - 10\pi r_w^2 = 6\pi r_w^2$. Como a área preta visível na Figura 1 equivale a $7\pi r_w^2$, a razão entre as áreas das regiões pretas visíveis na Figura 1 e na Figura 2 é obtida pela divisão entre esses dois valores, concluindo-se que o resultado final é $\Large \frac{7\pi r_w^2}{6\pi r_w^2}$ = $\boxed{\frac{7}{6}}$.
A partir da Figura 1, onde os círculos estão empilhados de forma concêntrica, o enunciado informa que a área preta visível é 7 vezes a área do círculo branco, gerando a equação algébrica $\pi R^2 - \pi r_g^2 = 7\pi r_w^2$. Substituindo ${R}$ por $r_w + r_g$ e eliminando o fator comum $pi$, obtemos $(r_w + r_g)^2 - r_g^2 = 7r_w^2$, que se desenvolve em $r_w^2 + 2r_w r_g = 7r_w^2$. Ao simplificarmos a expressão para $2r_w r_g = 6r_w^2$, descobrimos que o raio cinza vale $r_g = 3r_w$, o que consequentemente determina que o raio maior mede $R = 4r_w$.
Para calcular a área preta visível na Figura 2, subtraímos as áreas dos círculos cinza e branco da área total do círculo preto, resultando na expressão $\pi (4r_w)^2 - (\pi (3r_w)^2 + \pi r_w^2)$, que se simplifica para $16\pi r_w^2 - 10\pi r_w^2 = 6\pi r_w^2$. Como a área preta visível na Figura 1 equivale a $7\pi r_w^2$, a razão entre as áreas das regiões pretas visíveis na Figura 1 e na Figura 2 é obtida pela divisão entre esses dois valores, concluindo-se que o resultado final é $\Large \frac{7\pi r_w^2}{6\pi r_w^2}$ = $\boxed{\frac{7}{6}}$.
MateBásica