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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 25 • Combinatória
Ana lançou um dado comum 24 vezes seguidas. Todos os números de 1 a 6 ocorreram pelo menos uma vez. O número 1 ocorreu mais vezes do que qualquer outro número. Ana adicionou todos os números obtidos e chegou à maior soma possível. Qual é essa soma?
A 83
B 84
C 89
D 90
E 100
Resolução
Para maximizar a soma total dos 24 lançamentos do dado, devemos buscar a maior quantidade possível de ocorrências para as faces de maior valor (como 6, 5 e 4), respeitando rigorosamente as duas condições do enunciado: cada um dos seis números deve aparecer pelo menos uma vez e a face 1 deve ocorrer estritamente mais vezes do que qualquer outra. Definindo $c_i$ como a quantidade de vezes que a face $i$ foi obtida, o problema se resume a distribuir os 24 lançamentos de forma que a soma de suas frequências seja igual a 24, mantendo $c_i \ge 1$ para todos os valores e $c_1 > c_i$ para qualquer $i$ de 2 a 6.
A exigência de que a face 1 seja a mais frequente limita o valor máximo que as outras faces podem assumir, estabelecendo que nenhuma delas pode aparecer mais do que $c_1 - 1$ vezes. Ao analisarmos o comportamento da soma total para diferentes valores de $c_1$, encontramos o cenário ideal ao fixar $c_1 = 7$, o que restringe o teto das demais faces a no máximo 6 ocorrências. Para extrair a maior pontuação possível sob essa restrição, atribuímos o limite máximo de 6 ocorrências para a face 6 e também 6 ocorrências para a face 5.
Sabendo que esses três grupos de maior peso já consomem 19 dos 24 lançamentos totais ($7 + 6 + 6 = 19$), restam exatamente 5 lançamentos a serem distribuídos entre as faces 2, 3 e 4. Mantendo a estratégia de maximização e garantindo que todos os números apareçam ao menos uma vez, reservamos apenas 1 ocorrência para a face 2 e 1 ocorrência para a face 3, o que nos permite direcionar os 3 lançamentos restantes para a face 4. A configuração final ideal é composta por sete 1s, um 2, um 3, três 4s, seis 5s e seis 6s, cuja soma máxima é dada por $1(7) + 2(1) + 3(1) + 4(3) + 5(6) + 6(6)$ = $7 + 2 + 3 + 12 + 30 + 36 = \boxed{90}.$
A exigência de que a face 1 seja a mais frequente limita o valor máximo que as outras faces podem assumir, estabelecendo que nenhuma delas pode aparecer mais do que $c_1 - 1$ vezes. Ao analisarmos o comportamento da soma total para diferentes valores de $c_1$, encontramos o cenário ideal ao fixar $c_1 = 7$, o que restringe o teto das demais faces a no máximo 6 ocorrências. Para extrair a maior pontuação possível sob essa restrição, atribuímos o limite máximo de 6 ocorrências para a face 6 e também 6 ocorrências para a face 5.
Sabendo que esses três grupos de maior peso já consomem 19 dos 24 lançamentos totais ($7 + 6 + 6 = 19$), restam exatamente 5 lançamentos a serem distribuídos entre as faces 2, 3 e 4. Mantendo a estratégia de maximização e garantindo que todos os números apareçam ao menos uma vez, reservamos apenas 1 ocorrência para a face 2 e 1 ocorrência para a face 3, o que nos permite direcionar os 3 lançamentos restantes para a face 4. A configuração final ideal é composta por sete 1s, um 2, um 3, três 4s, seis 5s e seis 6s, cuja soma máxima é dada por $1(7) + 2(1) + 3(1) + 4(3) + 5(6) + 6(6)$ = $7 + 2 + 3 + 12 + 30 + 36 = \boxed{90}.$
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