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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 22 • Aritmética
Carlos diz somente verdades ou somente mentiras em dias alternados. Num certo dia, ele fez exatamente 4 afirmações dentre as 5 apresentadas a seguir. Qual delas NÃO pode ter sido feita nesse dia?
A Eu menti ontem e mentirei amanhã.
B Eu estou dizendo a verdade hoje e direi a verdade amanhã.
C 2024 é divisível por 11.
D Ontem foi quarta-feira.
E Amanhã será sábado.
Resolução
Para solucionar o problema, precisamos analisar os dois cenários possíveis para o comportamento de Carlos: ou hoje é um dia em que ele diz apenas verdades (Caso V), o que exige que ontem e amanhã sejam dias de mentira; ou hoje é um dia em que ele diz apenas mentiras (Caso M), determinando que ontem e amanhã sejam dias de verdade. Como ele escolheu fazer exatamente 4 das 5 afirmações possíveis em um único dia, todas as 4 declarações selecionadas devem possuir obrigatoriamente o mesmo valor lógico, sendo todas verdadeiras no Caso V ou todas falsas no Caso M.
Se hoje fosse um dia de verdades (Caso V), a afirmação (A) 'Eu menti ontem e mentirei amanhã' seria logicamente verdadeira, enquanto a afirmação (B) 'Eu estou dizendo a verdade hoje e direi a verdade amanhã' seria falsa, visto que amanhã ele mentirá. Isso impossibilitaria Carlos de pronunciar a afirmação (B), forçando-o a escolher as outras quatro; contudo, para que as opções (D) 'Ontem foi quarta-feira' e (E) 'Amanhã será sábado' fossem simultaneamente verdadeiras, hoje teria que ser quinta e sexta-feira ao mesmo tempo, o que elimina a possibilidade de hoje ser um dia de verdades.
Dessa forma, conclui-se que hoje é obrigatoriamente um dia de mentiras (Caso M), o que significa que as 4 afirmações escolhidas por Carlos devem ser falsas. Nesse cenário, a afirmação (A) torna-se falsa (pois ontem e amanhã são dias de verdade) e a afirmação (B) também é falsa (já que hoje ele mente), o que permite que ambas sejam ditas por ele. Ao avaliarmos a afirmação (C) '2024 é divisível por 11', constatamos pelo cálculo direto $(2024 \div 11 = 184)$ que ela é uma verdade matemática incontestável. Como Carlos não pode dizer nenhuma verdade em seu dia de mentiras, a $\boxed{\text{afirmação (C)}}$ é a única que ele NÃO pode ter feito nesse dia..
Se hoje fosse um dia de verdades (Caso V), a afirmação (A) 'Eu menti ontem e mentirei amanhã' seria logicamente verdadeira, enquanto a afirmação (B) 'Eu estou dizendo a verdade hoje e direi a verdade amanhã' seria falsa, visto que amanhã ele mentirá. Isso impossibilitaria Carlos de pronunciar a afirmação (B), forçando-o a escolher as outras quatro; contudo, para que as opções (D) 'Ontem foi quarta-feira' e (E) 'Amanhã será sábado' fossem simultaneamente verdadeiras, hoje teria que ser quinta e sexta-feira ao mesmo tempo, o que elimina a possibilidade de hoje ser um dia de verdades.
Dessa forma, conclui-se que hoje é obrigatoriamente um dia de mentiras (Caso M), o que significa que as 4 afirmações escolhidas por Carlos devem ser falsas. Nesse cenário, a afirmação (A) torna-se falsa (pois ontem e amanhã são dias de verdade) e a afirmação (B) também é falsa (já que hoje ele mente), o que permite que ambas sejam ditas por ele. Ao avaliarmos a afirmação (C) '2024 é divisível por 11', constatamos pelo cálculo direto $(2024 \div 11 = 184)$ que ela é uma verdade matemática incontestável. Como Carlos não pode dizer nenhuma verdade em seu dia de mentiras, a $\boxed{\text{afirmação (C)}}$ é a única que ele NÃO pode ter feito nesse dia..
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