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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 6 • Geometria
A figura mostra um quadrado com 4 círculos iguais, cada um deles tocando 2 outros círculos e 2 lados do quadrado. Qual é a razão entre a área da região preta e a área da região cinza? 
A $1:4$
B $1:3$
C $2:3$
D $3:4$
E $\pi:1$
Resolução
Para resolver este problema, podemos dividir o quadrado maior em quatro quadrados menores iguais, onde cada um deles contém exatamente um círculo inscrito de raio $r$. Cada um desses quatro quadrados menores possui quatro cantos externos ao círculo que, por simetria, possuem exatamente a mesma área.
Ao observarmos a figura completa, a região preta central é formada pela junção de quatro desses cantos, sendo um vindo de cada quadrado menor. Já a região cinza é composta pelos cantos externos que tocam os vértices do quadrado maior. Como cada um dos quatro quadrados menores contribui com três cantos para a parte externa, a região cinza é formada por um total de 12 cantos idênticos.
Sabendo que a região preta é composta por 4 cantos e a região cinza por 12 cantos, a razão entre a área da região preta e a área da região cinza é dada por $\large \frac{4}{12}$. Simplificando essa fração, obtemos a resposta final de $\large \frac{1}{3}$. Portanto, a razão entre a área da região preta e a área da região cinza é de $\boxed{1:3}$.
Ao observarmos a figura completa, a região preta central é formada pela junção de quatro desses cantos, sendo um vindo de cada quadrado menor. Já a região cinza é composta pelos cantos externos que tocam os vértices do quadrado maior. Como cada um dos quatro quadrados menores contribui com três cantos para a parte externa, a região cinza é formada por um total de 12 cantos idênticos.
Sabendo que a região preta é composta por 4 cantos e a região cinza por 12 cantos, a razão entre a área da região preta e a área da região cinza é dada por $\large \frac{4}{12}$. Simplificando essa fração, obtemos a resposta final de $\large \frac{1}{3}$. Portanto, a razão entre a área da região preta e a área da região cinza é de $\boxed{1:3}$.
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