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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 29 • Geometria
Considere n retas distintas no plano, designadas por $l_1$, $l_2$, ..., $l_n$. A reta $l_1$ intersecta exatamente 5 outras retas, a reta $l_2$ intersecta exatamente 9 outras retas e a reta $l_3$ intersecta exatamente 11 dos números a seguir é um possível valor mínimo para n?
A 11
B 12
C 13
D 14
E 15
Resolução
Num conjunto de $n$ retas distintas, se uma reta intersecta exatamente $k$ outras retas, significa que existem $k$ retas concorrentes a ela e, consequentemente, $(n - 1) - k$ retas que são paralelas a ela. Portanto, o grupo completo de retas paralelas nessa direção possui exatamente $n - k$ elementos. Como as retas $l_1$, $l_2$ e $l_3$ possuem números distintos de interseções (5, 9 e 11), elas obrigatoriamente possuem direções diferentes entre si, formando três conjuntos de retas paralelas totalmente disjuntos.
A partir dessa propriedade, calculamos o tamanho de cada um desses três grupos independentes em função de $n$: o grupo de $l_1$ possui $n - 5$ retas, o de $l_2$ possui $n - 9$ retas e o de $l_3$ possui $n - 11$ retas. Como a soma de grupos disjuntos de retas não pode exceder o total de retas existentes no plano, montamos a inequação $(n - 5) + (n - 9) + (n - 11) \le n$, que se desenvolve em $3n - 25 \le n$. Ao isolarmos a incógnita, encontramos $2n \le 25$, o que estipula o teto numérico de $n \le 12,5$.
Ademais, para que seja matematicamente possível que a reta $l_3$ encontre exatamente 11 outras retas no plano, o sistema precisa contar com pelo menos 12 retas no total ($n - 1 \ge 11 \implies n \ge 12$). Combinando o piso e o teto determinados para a variável ($12 \le n \le 12,5$), o único número inteiro que satisfaz simultaneamente todas as condições do problema é $n = 12$. Desse modo, o valor mínimo possível para o total de retas é $\boxed{12}$.
A partir dessa propriedade, calculamos o tamanho de cada um desses três grupos independentes em função de $n$: o grupo de $l_1$ possui $n - 5$ retas, o de $l_2$ possui $n - 9$ retas e o de $l_3$ possui $n - 11$ retas. Como a soma de grupos disjuntos de retas não pode exceder o total de retas existentes no plano, montamos a inequação $(n - 5) + (n - 9) + (n - 11) \le n$, que se desenvolve em $3n - 25 \le n$. Ao isolarmos a incógnita, encontramos $2n \le 25$, o que estipula o teto numérico de $n \le 12,5$.
Ademais, para que seja matematicamente possível que a reta $l_3$ encontre exatamente 11 outras retas no plano, o sistema precisa contar com pelo menos 12 retas no total ($n - 1 \ge 11 \implies n \ge 12$). Combinando o piso e o teto determinados para a variável ($12 \le n \le 12,5$), o único número inteiro que satisfaz simultaneamente todas as condições do problema é $n = 12$. Desse modo, o valor mínimo possível para o total de retas é $\boxed{12}$.
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