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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 24 • Geometria
Gil tem alguns cubos unitários pintados totalmente de preto, cinza ou branco. Ele usa 27 desses cubos para construir um cubo 3 x 3 x 3 de modo que a superfície desse novo cubo seja $\frac{1}{3}$ preta, $\frac{1}{3}$ cinza e $\frac{1}{3}$ branca. Ele pode usar no mínimo A cubos pretos e, no máximo, B cubos pretos. Qual é o valor de B - A?
A 1
B 3
C 6
D 7
E 9
Resolução
O cubo grande de $3 \times 3 \times 3$ possui 6 faces de área 9, totalizando uma área superficial de 54 unidades quadradas. Como a superfície é dividida igualmente em três cores, a área de exposição correspondente aos cubos pretos deve ser de exatamente $\large \frac{1}{3}$ $\cdot \, 54 = 18$ unidades quadradas.
Para encontrar o número mínimo $A$ de cubos pretos, devemos maximizar a quantidade de faces expostas por cada cubo individual. Os cubos localizados nos cantos são os que mais contribuem para a superfície, exibindo 3 de suas faces. Como precisamos de 18 faces pretas, dividimos esse total pela contribuição máxima de cada um, obtendo $A = \large \frac{18}{3}$ $= 6$ cubos pretos.
Para encontrar o número máximo $B$ de cubos pretos, devemos escolher peças que contribuam com o menor número possível de faces para a superfície. Podemos usar 1 cubo totalmente interno (que mostra 0 faces) e todos os 6 cubos do centro das faces (que mostram 1 face cada, totalizando 6 faces). Para completar as 18 faces necessárias, restam 12 faces, que preenchemos utilizando 6 cubos das arestas (que mostram 2 faces cada). Somando todas essas peças, obtemos $B = 1 + 6 + 6 = 13$ cubos pretos. Subtraindo o valor mínimo do valor máximo encontrados para a quantidade de blocos escuros, determinamos a diferença solicitada pelo problema. Realizando a operação final $B - A = 13 - 6$, chegamos ao resultado de $\boxed{7}$.
Para encontrar o número mínimo $A$ de cubos pretos, devemos maximizar a quantidade de faces expostas por cada cubo individual. Os cubos localizados nos cantos são os que mais contribuem para a superfície, exibindo 3 de suas faces. Como precisamos de 18 faces pretas, dividimos esse total pela contribuição máxima de cada um, obtendo $A = \large \frac{18}{3}$ $= 6$ cubos pretos.
Para encontrar o número máximo $B$ de cubos pretos, devemos escolher peças que contribuam com o menor número possível de faces para a superfície. Podemos usar 1 cubo totalmente interno (que mostra 0 faces) e todos os 6 cubos do centro das faces (que mostram 1 face cada, totalizando 6 faces). Para completar as 18 faces necessárias, restam 12 faces, que preenchemos utilizando 6 cubos das arestas (que mostram 2 faces cada). Somando todas essas peças, obtemos $B = 1 + 6 + 6 = 13$ cubos pretos. Subtraindo o valor mínimo do valor máximo encontrados para a quantidade de blocos escuros, determinamos a diferença solicitada pelo problema. Realizando a operação final $B - A = 13 - 6$, chegamos ao resultado de $\boxed{7}$.
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