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CANGURU DE MATEMÁTICA 2024 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 27 • Aritmética
Alice quer remover alguns dos números inteiros de 1 a 25 e separar os números restantes em dois grupos, de modo que os produtos dos números dos grupos sejam iguais. Qual é o menor número de inteiros que Alice pode remover?
A 4
B 5
C 6
D 7
E 8
Resolução
Para que os números restantes possam ser divididos em dois grupos com produtos exatamente iguais, o produto de todos os elementos que sobrarem deve ser um quadrado perfeito. Isso significa que, na fatoração conjunta de todos os números mantidos, cada fator primo deve aparecer uma quantidade par de vezes para que possa ser distribuído igualmente entre os dois subconjuntos.
Ao analisarmos os números de 1 a 25, observamos que os primos 13, 17, 19 e 23 aparecem apenas uma vez cada um em todo o conjunto. Como é impossível dividir um único fator primo entre dois grupos de números inteiros, esses 4 números precisam ser compulsoriamente removidos. Além disso, o número primo 7 aparece três vezes no total (nos números 7, 14 e 21); por ser uma quantidade ímpar, Alice deve remover pelo menos mais um número que contenha o fator 7 para tornar essa contagem par, estabelecendo um mínimo de 5 remoções.
Removendo exatamente 5 números — o 7 e os primos únicos 13, 17, 19 e 23 —, todos os fatores primos dos 20 números restantes passam a ter expoentes totais pares ($2^{22}$, $3^{10}$, $5^6$, $7^2$ e $11^2$). Essa configuração permite uma divisão perfeita em dois grupos com produtos idênticos: o Grupo A composto por ${2, 4, 5, 8, 9, 11, 16, 18, 21, 25}$ e o Grupo B composto por ${1, 3, 6, 10, 12, 14, 15, 20, 22, 24}$, onde ambos resultam no produto simplificado $2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 11$. Assim, o menor número de inteiros que ela pode remover é $\boxed{5}$.
Ao analisarmos os números de 1 a 25, observamos que os primos 13, 17, 19 e 23 aparecem apenas uma vez cada um em todo o conjunto. Como é impossível dividir um único fator primo entre dois grupos de números inteiros, esses 4 números precisam ser compulsoriamente removidos. Além disso, o número primo 7 aparece três vezes no total (nos números 7, 14 e 21); por ser uma quantidade ímpar, Alice deve remover pelo menos mais um número que contenha o fator 7 para tornar essa contagem par, estabelecendo um mínimo de 5 remoções.
Removendo exatamente 5 números — o 7 e os primos únicos 13, 17, 19 e 23 —, todos os fatores primos dos 20 números restantes passam a ter expoentes totais pares ($2^{22}$, $3^{10}$, $5^6$, $7^2$ e $11^2$). Essa configuração permite uma divisão perfeita em dois grupos com produtos idênticos: o Grupo A composto por ${2, 4, 5, 8, 9, 11, 16, 18, 21, 25}$ e o Grupo B composto por ${1, 3, 6, 10, 12, 14, 15, 20, 22, 24}$, onde ambos resultam no produto simplificado $2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot 7 \cdot 11$. Assim, o menor número de inteiros que ela pode remover é $\boxed{5}$.
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